Il faut prendre le signe + ou le signe — suivant que

est > o ou <o.

Le centre du cercle osculateur est toujours dans la concavité de la courbe.

La droite qui unit le point de contact au centre du cercle osculateur est perpendiculaire à la tangente commune.

Le cercle osculateur traverse la courbe, excepté en certains points particuliers, où le contact est d'un ordre supérieur au second.

On appelle souvent le cercle osculateur cercle de courbure; son centre et son rayon centre et rt^n de courbure,

536. Dans toute section conique, le rayon de courbure est égal au cube de la normale, divisé par le carré du demi-paramètre.

48o TABLE AlfALTTIQl]E

DiTBLOPPÉBS BT BN7BL0PPB8 DB COUBBBS PLANBS.

237. DAvBLOPPÉBS BT DÉVELOPPANTES. — LoB Centres de courbnre d'une courbe CM forment une nouvelle courbe FF*, que Ton appelle la développée de la courbe CM, et celle-d est appelée la développante de FF'. On aura Téqualion de la développée en éliminant X Qiy entre les équations

et l'équation

de la courbe donnée.

238. Peopriétés oiffénALBS de la développée. —Les normales à la courbe CM touchent la développée aux centres de courbure.

239. La développée d'une courbe est le lieu des intersections suoœssives des normales à cette courbe.

240. La différence entre deux rayons de courbure MK et M, K, est

Fig. 37. égale à Tare K|K de la développée

compris entre les deux centres de courbure correspondants.

241. Imaginons un fil dont une partie soit enroulée sur FK, et dont

l'autre partie, tendue suivant la tan-

^ gente K, M^ se termine en M, sur la courbe CM. Si l'on déroule ce fil en le tenant toujours tendu, son extrémité décrira la courbe CM.

242. Une même courbe FK a une infinité de développantes ; pour les décrire il suffira d'allonger ou de diminuer le fil d'une quantité arbitraire. Toutes les développantes ont les mêmes normales et les mêmes centres de courbure, et interceptent sur leurs normales communes des longueurs constantes.

243. Si une courbe est algébrique, sa développée sera rectifiable.