La même formule sert à diflercntier les radicauT. Ainsi

V ■ ddU^zd.U ^ ~ tt </« = ^•

" n ^ Il '-'

Dans le cas particulier où n = 3, on a

f/ti

d ^ttz:^ -

DIFFÉBESTIELLE D^U>'E EXPRESSION IMAGINAIRE.

43. On sait que les expressions imaginaires résultant du calcul algébrique peuvent toujours se réduire à la forme

Si, comme en Algèbre, \ — i est assimilée à une constante, on aura, par le changement de x en .r + Ax^

et comme

jr — «-f-p^ — I,

on aura

d'où

Aj^ = An -+- Ap v^ — I ;

Ar A« àv

Ax Ax A.r

et, h la limite,

dy du dv ~

dx dx dx *

ou enfin

djr ou </(«-+- p V — I ) :^ r/ii -f- rfp \/ — I . Ainsi la différentielle d'une expression imaginaire s^ob-

TEOISIEMB LEÇOH. 35

tient comme celle d'une somme, pourvu toutefois que l'on traite v — i comme un facteur constant.

APPLICATIONS

44. Les règles précédentes suffisent pour dilTérentier tontes les fonctions algébriques explicites. 1° Soit d'abord

E^our différentier cette fonction, on la met sous la forme

et Ton obtient

dy =z —bx ^ ax -h car^dx := = -\ ;

2 i\ix ^'

d^où Ton tire

dy h r

^^ "~ -?. sjx ^

yx' X^X ^'

y z=za -^ bx ' — ex * -+- ex~',

DiiTérentiant. on a

r(r = ( — - ^jr ^ H- ^ cj: * — ^ex'^ \ dx

Zxy/x* 3x'y/X *

d^où enfin

Posons

COURS D ÀNALTSC.

par suite.

donc

jr=««;

dy = mu^^' du.

du m nbx"^^ dx\

dy T= mnb [a -{- ba*Y' ' x"""' dx.

45. Nous allons montrer maintenant comment le calcul dinerenlîel s'applique à la détermination de courbes jouissant de propriétés données.

i^ Trouyer une courbe telle y que la sous^noimalc NP ait^ pour chaque point y une longueur constante a.

On aura, en supposant les coordonnées rectangulaires-

NPi^MPXtaDgPMN.

Mais

MF == j', tang PMN — tang MTN ^ -j- :

Fîg. 5.

Il faudra donc poser

yrfY

De là on tire

et dune

ydy . adx^

2,ydy ^-L ladx.

2ydy=:^d{y^)

aadx =:-d {2ax)i d{y^) = d[7.ax).

Maïs deux fonctions qui ont la même différentielle ne peuvent différer que par une constante (29) : donc, en appelant c une constante arbitraire, on a pour l'équation du lieu

Celle équation représente toutes les paraboles qui ont le même paramètre 2 a, et pour axe commun Taxe des x.

a^ Tromper une courbe dont la sous-normale sott une puissance donnée de V abscisse.

- -r=x", Cf. — :=id ,

dx 2 lit -r- \

d^où

3° Troui^er une courbe dont la sous^tangente PT soit en raison inverse de Fordonnée.

Puisque l'on a PT = MP cot MTP = ^, la courbe

cherchée a pour équation différentielle

ydx n} dy ~~ )'

On tire de cette équation

dur =■ ■

donc

xy - cy^:^ — à}.

Le lieu est une hyperbole équilatère qui a pour asymptotes Taxe des x et une parallèle à Taxe des j.

38 COURS D^NALYSE.

4° Si Ton cherche la courbe dont la normale MN est constante^ il faudra poser (Jig. 5, p. 36)

1» < ou

MP -4-NP =:r» + :^^=tf»5

d'où

et enGu

La courbe cherchée est un cercle dont le rayon est û et dont le centre est sur Taxe des x.

DlFFÉREIfTlATION DES FONCTIONS COMPOSÉES.

46. Après avoir différenlié une fonction d'une variable indépendanlc, nous allons apprendre à différentîer une fonction composée de plusieurs fonctions de cette variable, et d'abord de deux. Ainsi, soit

u et V étant deux fonctions de la variable indépendante ; lorsque x devient x -\- A j', les quantités i/, r, y devien nent respectivement «-h- An, p»-|- Af, j-{~ ^y. Mais, au lieu de changer à la fois u en u -f- Am, et i^ en i^ -f- Ai' dans y(«, i'), il revient au même d'effectuer ces deux changements l'un après l'autre. Ainsi, l'on remplacera d'abord u + A//, en conservant à w sa valeur actuelle, d'où résultera pour^ Taccroissement

Divisons cette différence par Au, et passons à la limite.

pn regardant i' comme invariable. On aura

AM du . V » '

On aurait, de même

donc, en représentant par a une fonction qui s^évanouit avec Au, quel que soit i^, et par 6 une fonction qui s'évanouît avec Ai^, quel que soitu, on a

(0 y{« -+- Att, p) —/(«,</) =:[<p', «,€»)-+- a] A«,

Changeant u en 1/ -f- Au dans l'équalion (a), il vient

&' désignant ce que devient 6 quand on y change u en Il -4- Aw, et s'annulant comme 6 en même temps que Ai^, Ajoutant maintenant les équations (i) et (3) membre à membre et divisant par Ax, on a

f{u -^ A«, V -i- àv] — f(u^ v)

= [? ( «. «') -^ «] — -^ [^ V « -^ A«, 0 -+- 6' — 5 ce qui devient^ à la limite,

ou enfin

ûf;^ — o [u, v)du -^-^(Uyv) dtfy

(4) dx=-J-da^%do.

du dv

Il faut observer que, dans les dérivées partielles -;^ et - - »

* * du dif

4o COURS d'analyse.

les variables u et i^ doivent être considérées comme indé* pendantes, tandis que, dans les facteurs du et rli^ qui multiplient ces dérivées, on doit regarder n et i' comme des fonctions de x.

ici. Une formule analogue à la formule précédente a lieu pour une fonction composée d'un plus grand nombre de fonctions de la variable indépendante. Ainsi, soit

On a

S) Ton pose

-y- ^ ç, («/, p, « \ ^ — V ("» «'j -J> ITi'^'^^ "' ''' '''

on aura, d'après les considérations qui précèdent,

( « ) /(« -+- A//, «', Z' — />, t', «) — [?( ", «', 2) -^ «] Af/,

(2) /(«,i^-f-AlS 3, — /:w,l',2) :^ [•!;>, P, 2) 4-6] Al',

(3) /(l/, I', 3-f- AZ) —/(«,«', z)— •;.(«,(•, z)-f- 7] Az.

Faisant varier u dans Téquation ( 2^ on a

. I ^'" -t- Atf, p 4- Ap, z) — /(« -^ A«, p, 2)

^"^^ I =[^(«-f-A//,i', 2;-i-e']AP.

Faisant varier u et v dans l'équation (3), on a

( f[» -^- Aw, p4- Ap, z -4- Az) — /(« 4- A«, p4- Ap, z)

^ ' / zrr [;r (/« -t- Aw,p4-ÛP, s) 4-7']A2.

Ajoutant les équations (i). (4j et (5) membre à membre, et divisant par Ax, il vient

A V A fi , A p

— ''- — r(p(«,P, 2) -f- al hF'!* (« 4- A«, p, s) 4-6'j -—

Az 4- [x(" '^~ ^''> " "^ ^*'' *) "^7'] — '

et, à la limite, on a

r/>- , ^du , , . r/p , , (h

TROISIÈME LEÇON. il

OU enGn

i^s , fir , dy , dr ,

( o) dr ^^ du H —dv -^ ^ cfe.

du dv az

De là on peut conclure en général que la différentielle d^ une fonction y ^ composée d'un nombre quelconque de fonctions de la variable indépendante, s^ obtient eu prenant successit^ement la différent ie lie de la fonction )\ par rapport à chaque fonction de la variable indépen^ dantCy dans laquelle cette variable seule serait supposée varier, et ajoutant toutes ces différentielles.

Cette règle comprend comme cas parlîruliers tontes les précédentes sur une somme, une différence, un produit,. . . de fonctions.

EXERCICES

I. r=a:'[n-^-h2-^)y/:F^a,\ dy ^. '^"' '^/'^' '"'''" ^ ''- .r dx .

yja^ - x^

^ / ./-* , da — i.r^Jxd.r

^' X-- K ) djr =

Z. j- ^f(a-hx\ (fy= f[aA-x)d.r.