ET DE LA BINORMALE

i*. Par un point quelconque M d*une courbe à double courbure on peut mener trois droites qui jouent un rôle capital dans l'étude des propriétés infinitésimales de la courbe : ce sont la tangente, la normale principale et la perpendiculaire au plan osculateur ou binormale; les résultats obtenus dans les n"* 271, 275, 286, 291 et 292 font connaître les cosinus directeurs de chacune de ces droites, c'est-à-dire les cosinus des angles qu'elle fait avec trois axes rectangulaires OXYZ ; il est bon d'en rappeler les valeurs. On a, pour la tangente,

(I) co8«=2r' «<»P=2J' «»1f=5ï'

pour la normale principale,

jdx jdr jdz

, . , as as as

(a) cos/=p-2j-, cosTO = p-^, <^08/î = p-^;

pour la binormale,

(3) <cosfx = p ^^ ,

dx d^x — drd^x

cosv = p

ds^

(') Cette Leçon ferait naturellement suite à la vingt-cinquième du textes

520 COURS D ÀNÀLTSE.

Dans C08 formules, les coordonnées x, /, z peuvent être regardées comme fonctions d*un paramètre arbitraire /, dont la valeur caractérise chaque point de la courbe ; ds est Féiément d'arc, p la valeur absolue du rayon de courbure.

Sur chacune des trois droites considérées, on peut cheminer, à partir du point M, dans deux directions opposées auxquelles correspondent, en quelque sorte, deux demi-droiies; il y a donc lieu de caractériser les directions MT, MN, MB auxquelles se rapportent les cosinus donnés par les formules (i), (2), (3). 0 est clair que les demi-droites déûnies à l'aide de ces cosinus seroni toujours les mômes, quelle que soit Torientation des axes OX, OY, OZ, et, pour les distinguer, nous placerons nos axes d'une façon particulière : l'origine coïncidant avec le point M, la partie ^)0sitive de l'axe des x sera dirigée suivant la tangente du côté où s croît, celle de l'axe des j^ suivant la portion de normale principale menée du côté vers lequel la courbe tourne sa concavité; Taxe des z coïncidera avec la binormaie. Pour cette position particulière des axes, nous développerons les coordonnées d'un point quelconque de la courbe en séries ordonnées suivant les puissances de l'arc s compté à partir du point M, et nous en déduirons, non seulement le caractère des demi-droites MT, MN, MB, mais encore quelques propriétés importantes de la courbe.