DEVELOPPEMENTS DES COORDONNÉES EN SERIES

V, Si le point M ne présente aucune singularité, les coordonnées j?, x^ z, qui sont des fonctions bien déterminées de <r, peuvent se développer par la formule de Maclaurin en séries de la forme

X = Ax -h A'j*-4- AV-+-. . .,

j^ = B j -I- B'f« -^ BV -H . . . ,

z =Cj-f-C'j«-4-CV-f-....

On en déduit, d'eprès les formules du n* 1*,

cosa = A-+-aA'j-4-3A'j«H-..., cos/ = p(aA'-4-6A'j -4-...\ cosp — B -i-aB'.f -t-..., cosm = p(2B'-+-6B*.ç -h...),

cosY =C -haC'x-h..., cos/i = p(aC'-H6C*S-H...).

Mais au point M, pour lequel / est nul, on doit avoir

co6a=±i, co8m=±:i, cosP = co8if= M)s/ = cosa=io;

PREMIERE LEÇON COMPLÉlfENTAIRE. 5^1

il en résulte

Pt étant le rayon de courbure au point M. D*ailleurs, quand s est positif et tr^ petit, x ei x doivent être positifs, par suite de l'orientation que nous avons donnée aux parties positives de OX et de OY; les premiers termes du dévdoppement de ces coordonnées ne sauraient être négatifs. En tenant compte des résultats qu'on vient d'obtenir, on peut écrire les valeurs de x, jr, « sous la forme suivante :

On en déduit

z = CS*-h, . ..

cosa = i-h3iw«-+-...,

(a) { cosp = — 4-3^j*-H...,

coSY = 3«*-H..., cos/ = p(6af -*-...)»

cos/71 = p ( h 6bs -f- . . . j ,

cos/i = p(6cj-f-...).

Les cosinus directeurs de la binormale peuvent se calculer en prenant s pour variable indépendante : on a de la sorte

. /dy d*z dz d*x\ /3c , \

cosi* = p(— 6cy -H. . .), cosv =p( h6fcj-t-...j;

quand s tend vers zéro, cosv devient égal à Tunilé.

Nous pouvons dès maintenant caractériser les directions MT, MN, MB : la première est celle de la tangente menée du côté où /

522 ^ COURS d'àITALTSE.

augmente ; MN se dirige vers le centre de courbure ; enfin la portion de binormale définie par les cosinus (3) (1*) est orientée, par rapport à MT et MN, comme la partie positive de Taxe OZ Test relativement aux parties positives de OX et de OY. .

3*. Nous allons déterminer les coefficients a, b, c. Gomme on a

toujours

cos'a •+• cos*p -h cos«7 = I,

la somme des carrés des seconds membres des équations (2) (2* } doit se réduire identiquement à Funité, les termes en ^, x<, x*, . . . disparaissant; si l'on écrit que le coefficient de x* est nul, on trouve

PÎ 6p?

En second lieu, remplaçons, dans les seconds membres des équations (3) (2*), p par sa valeur donnée par la formule de Madaurin,

et élevons ces équations au carré : la somme des seconds membres doit alors se réduire identiquement à Tunité; en écrivant que le coefficient de s est nul, nous aurons

Po o pî

En tenant compte de cette valeur de 6, on reconnaît que les expressions de cosX, cosjjl, cosv peuvent se mettre sous la forme

cosX = (3c-h8)j«,

cosfi = — (6cpo-+-e')j, cosv = I -H t'Sj

e, t\ t' s*annulant avec s. Si Tare s devient infiniment petit, langle des binormales à ses deux extrémités M et M' mesurera (296) la torsion ^ de cet arc, et Ton aura ? = v,

8in«© = i — cos*v = cos«X-t-cos»fi = (36c*pjH-Tf))jr«, T, 8*annulant avec s. Le rayon de torsion tq au point M est égal à

la limite do"- ou de — — pour j = o, c'est-à-dire à la valeur ab- (p sm<p '^ '

solue de :; — : on a donc bcpp

ro = ±^ , c = ±- ;

6cpo bropo

d'ailleurs, pour des valeurs positives et suffisamment petites de s, 2 a le signe de c; il faudra prendre les signes supérieurs ou les signes inférieurs selon que, en suivant la courbe à partir du point M du côté où s croît, on se trouve ou Ton ne se trouve pas, par rapport au plan osculaleur en M, du même côté que la binormale MB.

L'expression de cosfx donne lieu à une remarque qui nous servira plus loin : c'est que, pour des valeurs positives et suffisamment petites de s, l'angle p. est obtus ou aigu selon que la courbe est, par rapport au plan osculateur en M, dans la première ou la seconde position que nous venons de considérer.

^ 4*. La connaissance des valeurs de a, ^, c permet, en négligeant les termes de l'ordre de s^, d'écrire l'expression des coordonnées X, Xf ^ ^'^^ point quelconque de la courbe en fonction des éléments géométriques relatifs au point M, qui a été choisi arbitrairement : on trouve

6pJ " apo 6pJ Oropo

Quand s est suffisamment petit, les valeurs de ^ et de z se réduisent, sans erreur appréciable, chacune au premier terme de son développement, et l'on a immédiatement les deux théorèmes suivants :

i'* Le rayon de courbure d'une courbe en un point M est égal à la limite vers laquelle tend le quotient du carre' d'un arc MM' de cette courbe par le double de la distance du point M' à la tangente en M, quand MM' tend vers zéro,

a* Le rayon de torsion en M est égal à la limite vers laquelle tend le quotient du cube de l'arc MM' par six fois le produit du rayon de courbure en M et de la distance du point M' €ui plan osculateur en M.

On sait que la limite de ces quotients n'est pas altérée si Ton

remplace MM' par un infiniment petit dont le rapport à MM' tende vers Tunité.

Le premier théorème conduirait à l'expression donnée (291) pour p et à d'autres équivalentes; le second fait connaître explicitement la valeur de r; nous allons la calculer, parce qu'elle n'est pas donnée dans le texte. Soit

(X — x){dfd^z — dzd*jr)-h. ..= 0

1 équation du plan osculateur en M, par rapport à des axes rectangulaires quelconques; le point infiniment voisin M' a pour coordonnées

x^-dx -hi d>x H — rf»x,

z-\-dz -^ï d^z H ^ — â^Zy

s, e', e' étant infiniment petits; sa distance au plan considéré se

réduit à

. 1 {dyd^z-'dzd^yM\-^i)d^x

6 ^^d/d^z — dzd^Xf-^"'

divisant d^ par six fois cette distance, et par p, dont la valeur est connue, puis annulant, à la limite, 8, e', e', on trouve

^__^ (drd*z — dzd*X)*-^(dzd*x^dxd^zy-¥-(dxd^X-'4r^^)* *" {dxd^z^dzd^x)d*x-f-{dzd*x—dxd^z)d*X'^(dxd^X'-dxd^x)t^z'

on choisit le signe db de manière à rendre positif le second membre, dont la forme rationnelle est remarquable.

PHOPRliTES OU PLAN OSCULATEUR.

5*. Le plan osculateur en un point M a été défini comme passant par la tangente en M et par un point de la courbe infiniment voisin du point M; il peut y avoir avantage à le définir autrement. Ainsi, je vais montrer qu'un plan passant par le point M et par deux autres points Mt, Ms de la courbe va se conrondre avec le plan osculateur en M, quand les points Mi, Ms se rapprochent indéfiniment de M.

Prenons pour axes coordonnés les droites MT, MN, MB, et soient

PREMIÈRE LEÇOIf COMPLÉMENTAIRE. 525

JPu Tu ^i, ^ii Xii ^s les coordonnées de Mi et Ms; Téquation du plan MMtMs est

Désignons par ^i, St les arcs MMi, MMs, et exprimons xi, xs, ... en fonction de ^i et st par les formules du n"" 4^ ; on pourra diviser

tous les termes de Téquation par stst— -* , et il restera

quand ^i et ^i tendent vers zéro, cette équation tend à se réduire à Téquation Z = o, qui représente bien le plan osculateur en M. Le plan osculateur en M peut encore être considéré comme la limite d'un plan mené par la tangente MT parallèlement à la tangente au point infiniment voisin M'. Les équations de cette droite, rapportée aux axes MT, MN, MB, sont de la forme

poY-~|.f«-+-... ^opoZ~i.y^-^^... .

le plan mené par Taxe de x, MT, parallèlement à cette droite, a pour équation

ToZ — (f*-+-.. .)Y = 0,

d'où l'on conclut la proposition énoncée. Ces équations montren encore que la plus courte distance des tangentes en M et en M' est

s*, e s'annulant avec s.

laropo

En général, les tangentes en deux points M, Mi d'une courbe à double courbure ne se rencontrent pas; mais, si MMi est infini, ment petit, on peut dire que les tangentes se coupent, à condition de négliger les infiniment petits du troisième ordre par rapport à MMi. Sous la même réserve, on dira que le plan osculateur en M passe par la tangente MT et par la tangente infiniment voisine.

6*. L'intersection du plan osculateur en M avec le plan osculateur au point infiniment voisin M' a pour limite la tangente MT.

En effet, Téqualion du plan osculateur en M', rapporté aux droites MT, MN, MB, peut s'écrire, en remplaçant x^y^ z par leurs

520 COURS D^NÀLTSE.

expressions en fonction de s et multipliant tous les termes par

±2 Pc

(,^e')Z-(^-+.e"').f>=o; \oropo /

les termes e, e', e*, t'" contiennent s en facteur. Pour déterminer l'intersection de ce plan avec le plan osculateur en M, on fera Z = G dans l'équation précédente; on peut alors diviser tous les termes par s et si, après cette division, on fait s = o, on trouve réquation Y = o, qui, avec Z = o, représente la tangente MT.

Cela posé, imaginons les plans osculateurs en une série de points infiniment rapprochés sur la courbe donnée : les intersections de chacun de ces plans avec le suivant sont des droites qui coïncident avec les tangentes à la courbe et forment une surface réglée S, enveloppe des plans osculateurs. Une propriété essentielle de ce lieu S peut, dès maintenant, être mise en évidence en considérant un second mode de génération de la surface.

Prenons sur la courbe donnée une série de points a,b,c,d,e,... très rapprochés les uns des autres et formant les sommets d'un polygone inscrit dans la courbe : les plans de trois sommets consécutifs, tels que abc^ bcd, cde, ... ne coïncident pas en général, mais se coupent suivant des droites bc, cd, ...; ces droites, prolongées indéfiniment, constituent les arêtes d'une sorte de surface polyédrale ayant un très grand nombre de facettes très aiguës, situées

dans les plans abc, bcd^ Supposons maintenant que les points a,

b, c, ... deviennent infiniment nombreux et rapprochés les uns des autres : les droites bc, cd, ... tendront à se confondre avec les tangentes à la courbe et la surface polyédrale aura pour limite la surface S, qui en conservera les propriétés essentielles.

Il est évident que la surface polyédrale considérée peut être appliquée sur un plan donné P sans altérer la grandeur de ses éléments linéaires ou superficiels; il suffit de placer une des facettes sur le plan P, puis de faire tourner une facette adjacente autour de l'arête commune jusqu'à ce qu'elle coïncide avec P, et ainsi de suite. En passant à la limite, on voit que S peut être appliquée sur un plan sans altérer la grandeur de ses éléments linéaires et superficiels; il en résulte que l'angle sous lequel se coupent deux lignes de la surface est égal à celui sous lequel se coupent leurs transformées; on dit que la surface est développable.

On voit aussi que le plan d'une des facettes de notre surface polyédrale a pour limite le plan tangent à la surface S tout le long de la génératrice avec laquelle vient se confondre une des arêtes de la facette; d'ailleurs le plan de cette facette passe par trois sommets consécutifs du polygone abcde,..\ il a pour limite le plan oscuiateur à la courbe en l'un de ses points M, et ce plan touche S tout le long de la tangente MT.

La courbe donnée est \ arête de rebroussement de la surface S, En effet, si nous voulons trouver le lieu des traces des tangentes à la courbe sur un de ses plans normaux, le plan NMB, par exemple, il sufQt de faire X = o dans les équations de la tangente, rappelées à la fin du paragraphe précédent ; on a

\apo / \bropo /

on reconnaît que le lieu présente un rebroussement au point M; ce rebroussement se retrouve dans la trace de S sur tout plan mené par M sans passer par MT.

FORMULES DE SERRBT.

7*. Quand on se déplace sur la courbe, les neuf cosinus considérés n* 1* varient, en général, d'une manière continue : leurs différentielles ont des valeurs remarquables, que Frenet a fait connaître et dont M. Alfred Serret a montré toute l'utilité.

n sufSt de comparer les équations (i) et (a), 1*, pour en conclure

(i) dcosot, = — cos/, dcos^ = — cosm, dcosy = — cos/i.

Pour trouver les différentielles de cosX, cos^i, cos v, je mène par l'origine deux droites Ob, Ob\ égales à Tunité et parallèles aux binormales en deux points infiniment voisins M, M', dont la distance est ^; la droite bb'esi sensiblement égale à la mesure de l'angle

de torsion — : d'ailleurs, les plans osculateurs en M et M' peuvent

être considérés comme se coupant suivant la tangente MT, 6*, et le plan Obb' est parallèle au plan normal en M; le triangle Obb* étant isoscèle, la droite bb' fait un angle infiniment voisin de 90* avec la binormale MB, et, puisqu'elle est parallèle au plan normal en M, elle sera parallèle à la normale principale. Selon que l'arc MM'

528 COURS D*À]fA.LYSE.

(ds étant supposé positif) est ou n'est pas, par rapport an plan oscnlateur en M, du même côté que la portion MB de la binormale, Tangle de 06' avec la direction MN est obtus on aigu; il en résulte que, dans le premier cas, la direction bb' est de sens contraire à ia direction MN; dans le second cas, elle est de même sens. Les projections de bb^ sur les axes sont (296) «f cosX, </cosfi, if cosv, et Ton a

^COSX =31 — cos/,

(a) / rfc0S|i = q:: — cos/n,

, ds

^j^cosv ==p — cos/i;

il faut prendre les signes supérieurs ou les signes inférieurs, selon que MM' et MB sont ou ne sont pas du même côté du plan oscnlateur en M.

Enfin, le trièdre MTNB étant trirectangle, on a

cos' / = I — cos' a — cos* X, cos/c^cos/ = — cosa<^cosa — cosXifcosX;

si Ton remplace ^cosa et ^cosX par leurs valeurs (i) et (a), on peut tout diviser par cos/, et il reste

rfcos/ = cosaih — cosX.

On a de môme

£?cosm = cos 8 ± — cos u,

, dv , df

dcosn = cosY ± — cosv:

il faut choisir les signes supérieurs ou inférieurs de la môme manière que dans les équations (a).