THÉORÈMES SUR LA C0NVERGE?1CE DES SÉRIES

49. La somme d'une série convergente est une quanti lé délerrainée qui souvent n'est pas susceptible d'une autre expression : elle peut être employée dans le calcul comme une fonction des lettres qu'elle renferme. Il est donc important de savoir si une série est convergente. Voyons donc comment on pourra reconnaître ce caractère.

Pour qu'une série soit convergente, la condition nécessaire et suffisante consiste en ce que la somme dhtn nombre quelconque de ternies au delà du w'*""', ?/„, soit aussi petite que Von voudra, si n est sujfisamment grand. Celte condition est nécessaire puisque, les deux sommes S„ et S„^/ devant converger vers la même limite lorsque n ee^t de plus en plus grand, leur dKTérence doit tendre vers zéro. Elle est suffisante, car si la somme

!/«-,., -f- //„^.•2 -f- . . . 4- l/fl

est comprise entre — e et -h î, S„+, sera comprise entre S» — £ et S„ -4- e, quantités qui se rapprocheront de plus

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on plus à mesure que n augmentera, i restant le même,

maïs pouvant d'ailleurs être supposé aussi grand qu'on

voudra.

50. De cette proposition résulte la suivante : qu'à partir d'un teime u„, n étant assez grand, les termes doivent finir par devenir plus petits que tonte quantité donnée» Mais celte condition, qui est nécessaire, n'est pas suffisante. Ainsi l'exemple ci-dessous,