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IH l-Tr-f-7 H-. . .4 1 1 H. . .H h...,

offre une série dans laquelle cette condition est évidemment remplie, mais qui néanmoins n est pas convergente, car, en groupant les termes comme il suit,

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on voit que chacune des sommes renfermées entre parenthèses est plus grande que -9 et, comme il y en a une infini té, la série a nécessairement une somme infinie.

51. En général, pour reconnaître si une série est convergente, on compare ses termes, à partir d'un certain rang, à ceux d'une autre série qu'on sait être convergente, et s'il arrive que les termes de la première soient inférieurs ou au plus égaux à ceux de la seconde, alors cette première série est convergente. On peut se dispenser de comparer les premiers termes.

En comparant une série à une progression géométrique^ on est conduit aux théorèmes suivants.

52. Théorème I. — Une séiie dont tous les termes, ou du moins les termes très -éloignés, sont positifs, est convergente 5/, à partir d^un certain terme, le rapport d^un terme quelconque au précédent est plus petit quun

QUÀTniÈHE LEÇON. 4^

nombre déterminé Ar, qui est lui-même plus petit que r unité.

Ainsi, supposons qu'à partir de u„ cette condition soit remplie. On aura, m étant plus grand que n,

et à fortiori de mêmCy

on aura donc

Donc

Or

est une quantité finie, quelque grand que soit i\ puisqu*on suppose h moindre que ij d'ailleurs '/„. ^ ^ A"'~"i/„ peut devenir plus petit que toute quantité donnée, en picnant m assez grand ; par suite, le reste ii,^i 4- w„,+î -h ... H- //,„+, peut devenir inférieur à tout ce que Ton voudra, en prenant m suffisamment grand. Donc la série est convergente.

Au contraire, la série est divergente si Ton a A* plus grand que i .

Effectivement, si à partir de u^ cette condition est remplie, les termes deviennent de plus en plus grands.

53. Théorèue II. — Une série à termes positifs est convergente, si, à partir d'un certain termes on a con^ stamment

46 couBs d'amàlysb.

En effet, on aura, d'après cette condition^

OU bien

£#,.4., -f- U„^t -h . . . -*- ti„^i < X" 7— \

d^où Ton conclut, comme précédemment, que la série est convergente.

Au contraire, la série est divergente, si Ton a toujours, à partir d'un certain terme.

Et, en effet, comme de là on déduit «/«^A*", il s'ensuit qu'en prenant n suffisamment grand, //„, eià forlion le reste de la suite, sera plus grand que toute quantité donnée (5U).

54. On a supposé jusqu'à présent que tous les termes de la série, ou du moins les termes très-éloîgnés, étaient positifs. Soit maintenant une série dont les termes aient des signes quelconques.

Si la nouvelle série qu'on obtient en prenant positivement tous les termes au delà d^un certain rang est convergente, la série proposée le sera aussi. Effectivement, le reste de la série donnée a une valeur absolue moindre que le reste de la série transformée: par conséquent, il peut devenir moindre que toute quantité donnée.

Cexte condition de convergence est suffisante, mais non pas nécessaire.

55. Théorème III. — Une série est com^ergente quand les termes éloignés sont alternativement positifs et /icgatifsy et vont en décaissant indéfiniment.

En effet, admettons que cette loi se vérifie, dans la série

à partir du terme u^^i que nous supposerons positif.

Appelons U,,^.!, U„^,, XJ„+8, etc., la valeur absolue des termes i/,,^.!, "„+î, ««+3, etc. On aura, p étant ^ /i,

et, par suite,

On a aussi

Sous celte forme, on voit que donc on a

^rt "^C^ ^p <C« ^n • •-'m-M • 1

Donc Sp est toujours compris entre S„ et S„ -h U„+,, et comme Ij„^i peut devenir aussi petit que Fon voudra, la série e.st convergente.

56. On considère quelquefois, dans le calcul, des séries imaginaires de la forme

Une pareille suite sera convergente, si les deux sommes

«, -4- «i -4- «3 -4- . . . -h if« -h . . . , «^i -t- «'i -f- c'3 -4- . . . -+- i'„ -h . . . ,

sont elles-mêmes des séries convergentes.