I .2.O. . ./I \/i -r- J (/ï-hl/ ^n -r- ly

ou

On voit que la convergence est très-rapide. Les onze premiers termes donnent en effet e = 2,7182818, valeur approchée à un dix-millionième près.

LIMITE DE ( I H I ou AMD m CBOIt 1NDÉFIMIM£^T.

58. Le nombre e est la limite vers laquelle tend ItM quantité \\-\ J quand m croît indéfiniment.

Supposons d'abord m entier et positif. On a

iX" I m { m — III

QOATniÈSIE LEÇOÎI. 53

ce qu'on peut écrire

/;/ \ fil

Les termes de ce développement au nombre de m sont tous, à partir du second, plus petits que les termes de même rang dans la série qui représente le nombres, et ils

augmentent avec m, d'où il suit que ( iH ) augmente

avec /?/, en restant toujours <[ e. Les numérateurs des premiers termes, qui sont

approchent indéfiniment de Funité, quand m croît jusqu'à TinGni: et, par conséquent, ces termes tendent à devenir égaux à ceux de la série e. Mais il n'en est pas de même pour les termes très-éloignés, car si, par exemple, n — i

était la moitié de m, le facteur i > dans le

«**"•• terme, serait -> et le numérateur de ce terme serait ' 2

<^ -• Cependant, en prenant m très-grand, et négligeant

dans les deux séries les termes très-éloîgnés qui font une très-petite somme, on conçoit que Tune des séries diffère infiniment peu de l'autre, et qu'ainsi ( H | doit

s'approcher indéfiniment de e^