Au surplus, en voici la démonstration très-rîgou

rcuse. En s*a prêtant au /z*'"'* terme, on a

ni

Quelque grand que soit //, on peut prendre le nombre m, qui est indépendant de /z, tellement grand, que le nu-

mérateur

qui est inférieur à Tunité, surpasse i — £, £ étant un nombre déterminé aussi petit qu'on voudra. Car ce

I ) , îl suffira de poser

d'où l'on tire

n—\f - I yj l~ î,

Alors, dans le développement de ( i h j , les numérateurs des termes jusqu'au /i'*"" étant tous ^> i — e, ou aura, en les remplaçant par i — £ et négligeant les termes qui suivent le /i'*'"*,

^ tnj \i .'->. I .-2.

X • Ât * ^ % • a

et à fortiori

puisque la somme

(qui multiplie e) est

<r — I >-••• ou <ri.

On a d ailleurs (57, 6*>)

tf<2H h... H h

Ayant ainsi deux quantités qui renferment entre elles e et ( 1 H 1 ) on aura, en comparant les différences,

\ mj i ,2.6. . .n n

et comme on peut supposer n aussi grand et e aussi petit qu'on veut, en faisant croître m à Tinfini, on voit que e

est la limite vers laquelle tend ( i H

60. On obtient la même limite quand m cesse d'être un nombre entier. Dans ce cas, m tombe entre deux entiers consécutifs p et p -4- i, et Ton a

i-f-~ et >H

ou

(-ir<(-^)'(-^)

et

Quand m croit, ces deux quantités, entre lesquelles la

valeur de ( i H 1 est toujours comprise, tendent l'une

et Tautre vers la limite e (puisque p est entier). Donc / 1 -i j a la même limite.

56 COURS D^NALYSE.