Si l'on pose

Czz^Xt d'où Jc=^\Xf il s'ensuit que

par conséquent,

lim7J^ = liiii ^-4-!^^ ou Ir — lira[w(7j--i)].

11 est d'ailleurs facile de le démontrer dîreclcmeiit. Puisque 1 (i -f-a:) = v— > si Ton pose

H-x^y/jr? d'où x=.^x — ^f

l4o COURS D^AITÀLYSE.

on a

donc

^ 1-+- ® l vr — 0 1/ =

iH-or^— ij

Or, si m est très-grand, v(y — i est une fraction extrêmement petite, qui à la limite devient o; d'où Ton déduit encore

(a) ' / = iin™ [m {"^'jr — i)] quand iw = oc .

Cette formule pourrait servir à trouver approximativement le logarithme népérien d'un nombre, du moins en théorie. Pour rendre le calcul praticable, il faudrait

prendre pour m une puissance de a, et alors 'y/y s'obtiendrait par des extractions successives de racines carrées.

149. La formule (^) conduit au développement de 1 (i -H '') en série, car, si Ton pose

on aura

jr-i) = /wL(n-«r-iJ,

et si II est moindre que l'unité en valeur absolue, le second membre, développé par la formule du binôme, donnera

(i -4-«r— il —an a'-h-^: —^-^ ^tt»-4-...;

et, en supposant m = qo ,

tt' «*

DIXIÈME LEÇON. l4l

EXERCICES

.1 JT* . 1.3 X» . 1.3.5 X* .