I."*^ PARTIE. CHAP. VI

puissances ascendantes et entières de cette variable.

DÉMONSTRATION. En effet, supposons qu'on ait développé par deux méthodes différentes la fonction <|) {jc) ; et soient

ies deux développemens , c'est-à-dire, deux séries dont chacune , étant convergente pour des valeurs de X différentes de zéro , ait pour somme , tant qu'elle demeure convergente, la fonction <\>\-v\. Ces deux séries étant constamment convergentes pour de très -petites valeurs numériques de .r^ on aura, pour de semblables valeurs ,

/z„-+-«,.r-i-«,x^-+-&c... =r h^-^hiX-\-bjx^-\-^Q,...

Comme , en faisant évanouir x , on tire de i'équation précédente

il en résulte qu'on peut la réduire généralement à

<3,.r-Hûrj.r'^-i-&c... = ^, .r n- Z>j.r* -h &c. . . , ou , ce qui revient au même , à

a7(flr,-Ha.x-t-&c. . , ) = .r ( ^, -t- ^j .r -H &€. . .).

Si l'on multiplie par — ies deux membres de cette dernière équation, on obtiendra la suivante

«, -^ a^ X -\- &c. .. = //, H- b^ X -\~ (Sec. . . ,

qui devra encore subsister pour de très-petites valeurs numériques de la varia'ole ^^ et de laquelle on conclura , en posant .r == o ,

En continuant de même , on ferait voir que les constantes «o , «,, a,i 6cc... sont respectivement égaies aux constantes ^^ , ^,, b^, 6cc... ; d'où ii suit que les deux développemens de la fonction Cp (a) sont identiques.

Le calcul différentiel fournit des méthodes trèsexpéditives pour développer les fonctions en séries. Nous exposerons plus tard ces méthodes ; et nous nous bornerons pour l'instant à faire connaître, avec îe développement de la fonction (i -\- j:Y ^ dans laquelle /x désigne une quantité quelconque, deux autres développemens que fon ramène facilement au premier , savoir , ceux des fonctions

A désignant une constante positive , et L la caractéristique des logarithmes dans un système choisi à volonté. En conséquence , nous allons résoudre l'un après l'autre les trois problèmes qui suivent.

1.^'' Problème. Développer , lorsque cela se peut, la fonction

en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendajites et entières de la vai^iable x.