I.'^ PARTIE. CHAP. VI

Solution. Si d'abord on suppose ;U.= m , m désionant un nombre entier quelconque, on aura, par la formule de Newton ,

La série dont la somme constitue le second membre de cette formule est toujours composée d'un nombre fini de termes : mais, si {'on v remplace ie nombre entier m par une quantité quelconque /x, la nouvelle série que l'on obtiendra , savoir ,

(5) ., f.r, ^^if^^-, &c

se trouvera composée en général d'un nombre indéfini de termes, et sera convergente seulement pour des valeurs numériques de x inférieures à l'unité. Soit, dans cette hypothèse, Cpf/x) la somme de la nouvelle série; en sorte qu'on ait

/A. JU (,«— I ) i „ f X — -

(.5) cp(,a)=-.f.r^^ii^x'-.&c...|:

En vertu du i .^' théorème [§• ï-^"]» '^{i^) sera fonction continue de la variable fx entre des limites quelconques de cette variable , et l'on aura [voyez le 3.' théorème, corollaire 4]

(16) <:p(/^).cp(/x,') = <î)(^-t-^').

Cette dernière équation , étant entièrement semblable à l'équation (2) du chapitre V [§. i''], se résoudra de la même manière \ et l'on en conclura

La valeur de Cp(/^) étant ainsi déterminée , si on la substitue dans la formule (15), on trouvera, pour toutes les valeurs de jr comprises entre les limites,

(20) (iH-^)'' = n-^^-4-^l^a;^-H&c.... {"Î;;}.

Lorsque la valeur numérique de x devient supérieure à l'unité, la série (5), n'étant plus convergente, cesse d'avoir une somme; en sorte que l'équation (20) ne subsiste plus. Dans la même hypothèse, il devient impossible, ainsi qu'on le prouvera plus tard à l'aide du calcul infinitésimal, de développer la fonction (^i -\-^Y en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable jt.

Corollaire i,"' Si dans l'équation (20) on remplace yttpar--, et .r par cl.v, cl désignant une quantité infiniment petite, on aura pour toutes les valeurs de oLo: renfermées entre les limites — i , -f- 1 , ou, ce qui revient au même, pour toutes les valeurs d©

j: renfermées entre les limites ^, -h — ,

(i-l-ajr) " = 1-1 1 (1 —et) — '■ (i — a) (1— 2a)-|-&c.

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