I."^ PARTIE. CHAP. VI. IGI

DÉMONSTRATION. Poiir multiplier îa somme de la série (i) par ic polynôme (17), il suflîra de ia multiplier successivement par les différens termes de ce polynôme. On aura donc

( kx'"-\- /x"'"' -h. . .-\-px -H q) ( fl^-h a,x -H a^x^ -H &c. . .) = q{a^ -t-rtjX-t-a^x* + &c„.) -\- p x {a^ H-a,x + a^x"^ -(-Sec. .)

H- /x"'~' (oo4-a,x+aiX''-l-...) + hx'" (at,+ a,xH- a^.r^-j- &c.. .)

Comme on a de plus , pour des valeurs entières quelconques de Ji,

<jr ( tto -H a, X -h a, X* -H -h a„, x""' )

= ç'flo -hya.x-H ça, x^ H- 4 ça^^ j;."-' ^

on en conclura, en faisant croître 7i indéftniment , et passant aux limites,

q {ao-^a^x-Jra^x^-iriic. ) = qa^-\- qa ^x-\-qa ^x^~\-&ic. . . „

On trouvera de même

px {ao-ira^x-\-a^x'--\-^c.. . .) = paoX-[-pa^x^-\-pa^x^ -^kc. . . ,

/x'"-' ( ao+a,x+a^x'+&Lc. . .) = /aox'"-+/a,x'"+/a,x'"*'+&c.,. , A-E'"(ao-fc3»,x+rt^x-H-S:c ) = kaoX"'+ka ^x'"*'+ka^x"'^^+&.c...

Si l'on ajoute ces dernières équations, et qu'en formant la somme des seconds membres on réunisse les coefficiens des puissances semblables de la variable a:, on obtiendra précisément la formule (18).

Concevons maintenant que dans la série ( i ) on fasse varier la valeur de ,v par degrés insensibles. TOM. 1. L

Tant que la série restera convergente, c'est-à-dire, tant que la valeur de x demeurera comprise entre les limites

la somme de la série sera [en vertu du i.^"^ théorème, §. i] une fonction continue de la variable j:. Soit Cp (.r) cette fonction continue. L'équation

Cp [x) =z a^-\-a,x -h- a^.v^ -+- &:c

subsistera pour toutes les valeurs de x renfermées^ entre les limites — ^ , -^ ^ ; ce que nous indiquerons , en écrivant ces limites à côté de la série , comme on le voit ici

Lorsque la série est supposée connue, on peut quelquefois en déduire la valeur de la fonction Cp(.r) sous forme finie ; et c'est-là ce qu'on appelle sommer la série. Mais le plus souvent la fonction <^{x) est donnée, et l'on se propose de revenir de cette fonction à la série , ou , en d'autres termes , de développer la fonction en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable X. 11 est facile d'établir à ce sujet la proposition que je vais énoncer.

6.^ Théorème. Une fonction continue de la variable X ne peut être développée que d'une seule manicre en séiie convergente ordomiee suivant les