I."' PARTIE. CHAP. VI

Cette dernière équation devant subsister, quelque petite que soit la valeur numérique de et , si Ton désigne à l'ordinaire, par l'abréviation lim. placée devant une expression qui renferme la variable et, la limite vers laquelle converge cette expression, tandis que la valeur numérique de cl décroit indéiiniment , on trouvera , en passant aux limites ,

\ lim. ( I -i-oLJ:) * = I -+ — -H 1 H 6cc. . .

J j x = — oc i

V ( X = -i-CO ).'

II reste à chercher la limita de ( i -t- et jt) «^ . Or , en premier lieu , on tirera de la formule précédente

h'm. (i H- et) * = I -+- — -4 — ' — 1 ^ \- &c... ,

ou , en d'autres termes ,

(22) lim. (i H-et)'=: e^

e désignant la base des logarithmes népériens [voy. le §. i.^"", équation (6)]. On en conclura immédiatement

lim. ( I -i- et jr) '"' = e ^ ♦ t pai' suite

lim. ( n- et .7') " =z lim . [( i -h et .r) "' J = c'.

Si maintenant on remet la valeirr de lim. (i-+-ec.r)* dans l'écpiation (2 1) , on obtiendra la suivante

^ J/ 1 1.2 I .i.3 (j; = 4-cc)

On pourrait arriver directement à l'équation (23), en observant que la série

est convergente pour toutes ies valeurs possibles de îa variable .r^ et cherchant la fonction de .r qui représente la somme de cette même série. En effet, soit Cf)(.r) la somme de la série (6) qui a pour

terme général

C|)(y) sera la somme de la série qui a pour terme générai:

et [en vertu du 6.'^ théorème, §. 3] le produit de ces deux sommes sera la somme d'une nouvelle série qui aura pour terme général

Ce produit sera donc égal à <p (.^-+-y) ; et par suite , si l'on fait

Cp (x) =: l -i- — -+- --- H h &C.... ,

îa fonction Cp (jc) vérifiera l'équation