Problème. Développer la fonction

^ A-, dans laquelle A désigne un nombre quelconque , en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x.

Solution. Désignons toujours par la caractéristique / les logarithmes népériens pris dans le système dont la base est e. On aura , d'après la définition même des logarithmes ,

et l'on en conclura

Par suite, en ayant égard à l'équation (23), on trouvera

A =IH 1 '— -\ ^ H 6cc...

\ Xr= — CO \ J = -|-CC

Cette dernière formule subsiste pour toutes les valeurs réelles possibles de la variable x.

3.^ Problème. La caractéristique l dési^-nant les logarit/imes pris dajis le système dont la base est A, développer, lorsque cela se peut, la fonction

en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x.

Solution. Désignons toujours par / la caractéristique des logarithmes népériens. On aura , en vertu des propriétés connues des logarithmes ,

et par suite, en ayant égard à l'équation (26) , on trouvera , pour toutes ies valeurs de x comprises entre les limites — i , -h i ,

Cette dernière formule subsiste dans le cas même oii l'on prend .r = i . Mais elle cesse d'avoir lieu , lorsqu'on suppose x ^=. — i , ou x"^ > i.

I/^ PARTIE. CHAP. VII. l73