CHAPITRE VIL

Des Expressions imaginaires et de leurs Modules,

5. 1." Considérations générnies sur les Expressions imaginaires.

.En analyse, on appelle expression symbolique ou symbole toute combinaison de signes algébriques qui ne signifie rien par eHe-mémc, ou à laquelle on attribue une valeur différente de celle qu'elle doit naturellement avoir. On nomme de même équations symboliques toutes celles qui , prises à la lettre et interprétées d'après les consentions généralement établies , sont inexactes ou n'ont pas de sens , mais desquelles on peut déduire des résultats exacts , en modifiant et altérant selon des règles fixes ou ces équations elles-mêmes, ou les symboles qu'elles renferment. L'emploi des expressions ou équations symboliques est souvent un moyen de simplifier les calculs , et d'écrire sous une forme abrégée des résultats assez compliqués en apparence. C'est ce qu'on a déjà vu dans le second paragraphe du troisième chapitre , oîi la formule (9) fournit une valeur symbolique très-simple de l'inconnue jc assujettie à vérifier les équations (4). Parmi les expressions ou équations symboliques dont la considération est de

quelque importance en analyse, on doit sur -tout distinguer cciies que l'on a nommées imaginaires. Nous allons montrer comment l'on peut être conduit à en faire usage.

On sait que les sinus et cosinus de Tare a-^b sont donnés en fonction des sinus et cosinus des arcs a ci b par les formules

f COS. {^a-k~bj = COS. a . COS. b — sin. a . sin. b , [ sin. {a-^b\ = sin. a . cos. b -+- sin. b . cos. CL

Or, sans prendre la peine de retenir ces formules, on a un moyen fort simple de les retrouver à volonté. II suffit, en effet, d'avoir égard à la remarque suivante.

Supposons que Ton multiplie l'une par l'autre les deux expressions s^nnboliqucs

COS. a ■+- i/— î sin. a p COS. b -r- ]/— • sin. b ,

en opérant d'après les règles connues de la multiplication algébrique , comme si |/— i était une quantité réelle dont le carré fût égal à — i. Le produit obtenu se composera de Ac\w parties , l'une toute réelle , l'autre ayant pour facteur )/— i ; et la partie réelle fournira la valeur de ces. («h-Z»), tandis que le coefficient -/-T fournira celle de sin. («-+-/;). Pour constater cette remarque, on écrit la formule