I."' PARTIE. CHAP. VII
Dans le cas particulier où C s'évanouit, ct-\-Q-/—i se réduit à une (juantité réelle et , et parmi les valeurs de l'expression
il peut s'en trouver une ou deux de réelles , comme on le verra ci-après.
Outre les puissances entières et les racines correspondantes des expressions imaginaires, on a souvent à considérer ce qu'on appelle leurs puissances fractionnaires ou négatives. On doit faire à ce sujet les remarques suivantes.
Pour élever fexpression imaginaire ct-t-o|/— i à la puissance fractionnaire du degré — ^ il faut , en supposant la fraction — réduite à sa plus simple expression, i." extraire la racine îî."'^ de l'expression donnée, 2.° élever cette racine à la puissance entière du degré m. Le problème pouvant être résolu de plusieurs manières [voyez ci-après le 5- 4]' nous désignerons indistinctement l'une quelconque des jouissances du degré 7- par la notation
Dans le cas particulier où C se réduit à zéro , une ou deux de ces puissances peuvent devenir réelles.
Elever l'expression imaginaire ct-t-^j/— T à la puissance néjmtive du degré —m, ou — - , ou — -- , c'est
diviser Fimité par la puissance du degré 7n, ou — ,
ou — , de îa même expression. Le problème admettant une solution seulement, dans le premier cas, et plusieurs solutions dans chacun des deux autres, on indique la puissance du degré — m par la notation simpic
tandis que les deux notations
représentent, îa première, une quelconque des puissances du degré — — , et la seconde, une quelconque
des puissances du degfré .
On dit que deux expressions imaginaires sont conjuguées l'une à l'autre , lorsque ces deux expressions ne diffèrent entre elles que par le signe du coefFicient de |/-^. La somme de deux semblables expressions est toujours réelle , ainsi que leur produit. En effet, les deux expressions imaginaires conjuguées
donnent pour somme 2 et , et pour produit cl-\-Q*» La dernière partie de cette observation conduit à un théorème relatif aux nombres , et dont voici l'énoncé.
î." PARTIE. CHAP. VII. 181
- 1 ." Théorème. Si l'on inultiplîe l'un par l'autre deux nombres entiers dont chacun soit la somme de deux carrés, le produit sera encore une somme de deux carrés.
DÉMONSTRATION. Soient
ce
b\ cl''' -^ Ç>'
ics deux nombres entiers dont il s'agit, ce', G*, et'', G'* désignant des carrés parfaits. On aura évidemment les deux équations
( a-f-e /ITT ) (a'-H^yin ) = a a'— ^^' -h (a C'-t-a'C ) /Zir , ( a C y/^ ) (a'— Cyin ) = a a'— ^ ^-^ — (a C'-l-a'^ ) y/irr i
et , en multipliant celles-ci membre à membre , on obtiendra la suivante
(7) [a:-'^') (ce' v€'*) ^ (otct'-Cf:') v(ctC'-i-ct'C)'.
Si l'on échange entre elles dans cette dernière ies lettres aJ et Ç>' , on trouvera
(8) (ccVê^)(ct' V(:'^)= (x^'-ce'QV(ccct'-^g€')\
II y a donc en général deux manières de décomposer en deux carrés le produit de deux nombres entiers dont chacun est la somme de deux carrés. Ainsi, par exemple, on tire des équations (7) et (8)
On voit par ces considérations que l'emploi des ex-
pressions imaginaires peut être d'une grande utilité, non-seuicmcnt dans l'aigèbre ordinaire, mais encore dans la théorie des nombres.
Quelquefois on représente une expression imaginaire par une seule lettre. C'est un artifice qui augmente les ressources de fanaiyse , et dont nous ferons usage dans ce qui va suivre.
§. 2." Sur les Modules des Expressions imaginaires , et sur les Expressions réduites.
Une propriété remarquable de toute expression imaginaire a.-^ Q> -/—i , c'est de pouvoir se mettre sous la forme
P fcos. 9 -+- ]/— ' sin. 6) ,
f désignant une quantité positive , et ô un arc réel. En effet, si Ton pose l'équation symbolique
(l) CL H-C )/— 1 =^ (cos. Ô -H |/— I sin. Ô) ,
ou , ce qui revient au même , les deux équations réelles
/ \ S 0L= Pcos. 8 ,
(^) -le « • fi
f b = p sin. u , on en tirera
cL* -4- G* =:ijO*(cos/ 9 H- sin.* 9) -— ^ f* »
