I." PARTIE. CHAP. VII

et, après avoir ainsi déterminé ia valeur du nombre ^, il ne restera, pour vérifier complètement les équations (2), qu'à trouver un arc ô dont le cosinus et le sinus soient respectivement

COS. 9

Ce dernier problème est toujours soluble, attendu que chacune des quantités ^^J^^.^ , vi^'^^n a une valeur numérique inférieure à l'unité , et que la somme de leurs carrés est égale à i . De plus , il admet une infinité de solutions différentes , puiçqu'après avoir calculé une valeur convenable de i'arc ô on pourra , sans changer ni ie sinus ni le cosinus, augmenter ou diminuer cet arc d'un nombre quelconque de circonférences.

Lorsque l'expression imaginaire ct-nCy'— i se trouve ramenée à la forme

P ( COS. 9 ■+- ■)/— ' sin. 9 j ,

la quantité positive f est ce qu'on appelle le module de cette expression imaginaire ; et ce qui reste après la suppression du module, c'est-à-dire, le facteur

COS. 9 -H- y'—' sin. 9 ,

est ce que nous nommerons l' expression récluîte. Comme des quantités ce et C supposées cor.nues on ne déduit pour le module y> qu'une valeur unique

déterminée par leqr.ation (3), il en résulte que le module reste le même pour deux expressions imaginaires éi;ales. On peut donc énoncer le théorème suivant.

I .^^ Théorème. L'égalité de deux expressions imaginaires entraîne toujours l' égalité des modules^ et par conséquent celle êtes expressions réduites.

. Si l'on compare entre elles deux expressions imaginaires conjuguées, on trouvera encore que leurs modules sont égaux. Le carré du module commun à ces deux expiassions ne sera autre chose que leur produit.

Lorsque dans l'expression imaginaire ctn-b)/— f le second terme Q s'évanouit, cette expression se réduit à une quantité réelle ot. Dans la même hypothèse, on tire des équations (3) et (4)» i.°, quand CL est positif,

COS. U nr: I , sin. (7 m O ,

k désignant un nombre entier quelconque ; 2.*, quand ce est négatif ,

eoR. 9 = — \ ^ sin. 9 = 0

et par suite