I."' PARTIE. CHAP. VII

ô = =b ( 2 A- -4- I ) TT.

Ainsi le module d'une quantité réelle ot n'est autre chose que sa valeur numérique }/{<^') ', et l'expression réduite qui correspond à une semblable quantité est toujours -t- i ou — i , savoir ,

lorsqu'il s'agit d'une quantité positive , et

— 1 := COS. (=i=: z/c-+- I.Tt)-*-!/— I sin. (=h: 2 /L-4-I.7r),

lorsqu'il s'agit d'une quantité négative. . Toute expression imaginaire qui a zéro pour module se réduit elle-même à zéro, puisque ses deux termes s'évanouissent. Réciproquement, comme le cosinus et le sinus d'un arc ne deviennent jamais nuls en même temps , il en résulte qu'une expression imaginaire ne peut se réduire à zéro , qu'autant que son module s'évanouit.

Toute expression imaginaire qui a l'unité pour module est nécessairement une expression réduite. Ainsi , par exemple ,

COS. a-H |/— I sii^. «^ COS. a — y/—isïn.af

— COS. a — |/~i sin. a , — COS. a-\- >/— ' sin. a f

sont quatre expressions réduites conjuguées deux à deux. Eirectivement, pour tirer ces quatre expressions de la formule

ca». y -H -j/— ( sin. a ,

il suffira de poser successivement

k désignant un nombre entier quelconque.

Les calculs relatifs aux expressions imaginaires pouvant être simpliîiés par la considération des expressions réduites, il importe de faire connaître les principales propriétés de ces dernières. Ces propriétés sont comprises dans les théorèmes que je vais énoncer.

2.^ Théorème. Pour midtipUei' l'une par l'autre deux expressions réduites

COS. 9 -+- j/— I sin. 0 , COS. 9' -H j/— i sin. 9' ,

il suffit d'ajouter les arcs 9 e/ 9 ' qid leur correspondent.

DÉMONSTRATION. On a, en effet,

{ (ces. 9 -H]/— I sin. 9) (cos. 9' -+- 1/— I sin 9') J

' ( .= cos.(a-HÔ')-H/-^sin.(9-+-ô'). I

Corollaire. Si dans la formule précédente

on fait 6' = — Ô , on trouvera, comme on devait s'y attendre ,

(6) ( COS. D -V- ^/—\ sin, u ) fcos. u — V^""' sin. o j = I .

3.^ Théorè;me. Pour multiplier les unes par les mitres plusieurs expressions réduites