I." PARTIE. CHAP. VII

COS. 0 -\- i/— I sin. ô , COS. 6' H- |/— i sin. 9' , COS. 0 -f- |/— ' siti. 0 , &C. . . . j

7/ ^?{^^ d'ajouter les arcs 9 , 9 ', 9 " , ... qui leur correspondent.

DÉMONSTRATION. En effet, on aura successivement

(cos. 9 -H |/— I sin. 0) f C0S.9' -t- "p/— • sin. B j =z COS. (9 -4- ô') -H /-^Tsin. (ô -t- G') , (cos.ô-H-j/— isin.ô) (cos.Ô'-H;/— isin.9')(cos.G"H--j/— isin.0") = [cos.(9-HG')-H/-^sin.(9-+-9')][cos.9"-H/-^sin.G"] =: COS. (G -hG' -f-G")-i-/^sin. (9 ^-9' -+-G") ,

&c ; et , en continuant de même , on trouvera

généralement, ([uel que soit le nombre des arcs, G,

( (ros.5-4-/, sin.û) (cos.9'-hy/i sin./)') (cos.6"-h/-i sin-Q")... I =cos. (9 -h 6'-+- 6".. .)H-l/-^sin. (â-hô'-l-g". ..).

Corollaire. Si l'on développe par la multiplication immédiate le premier membre de l'équation (y), ie développement se composera de deux parties, l'une toute réelle, l'autre ayant pour facteur ct-+-C|/— I. Cela posé, la partie réelle fournira la valeur de cos. ( G-+-G'-f-G" ... ), et le cocflicient de -/-^ dans la seconde partie la valeur de sin. (9-i-9'-+-G"...). Supposons, par exemple, que l'on considère seulement trois arcs 9, G', G". L'équation (7) deviendra

(cos. ô-+--/ir7sin.g) (cos.6'-»-/zn^sin.ô') (w)s.ô"-f-y^:^8in.8"> = COS. ( 9 -t- 0' -+- ô" ) -t- -/^ri sin. ( 9 -H 6' -t- 6" ) ;

et , après avoir développé le premier membre de cette dernière par ia muitiplication algébrique , on en conclura

COS. ( 6 -f- 6' -h ô' ) == COS. g COS. Ç' COS. ô" — COS. 9 sin. Q' sin. Q" — sin. 9 COS. 9' sin. g" — sin. 9 sin. 9' cos. 9' ,

sin. ( 9 -H- 9' -f- 9 ' ) = sin. 6 cos. 9' cos. 9" -H cos. 9 sin. 9' cos. 9" -t- cos. 9 cos. 6' sin. 9' — sin. 9 sin. 6' sin. 9'.