Théorème. Pow élever l'expression imaginaire

COS. o -4- y^— I sin. 0

à la puissance du degré m (m désignant un nombre entier quelconque) , il suffit de multiplier dans cette expression l' arc 9 ])ar le nombre m.

DÉMONSTRATION. En effet, les arcs 9, 8', 9"... pouvant être quelconques dans la formule (t), si on les suppose tous égaux à l'arc 9 et eu nombre m, on trouvera

(10) (cos. 9-+-j/— j sin. G)" = cps.»i9-i-)/^ iïnjn^.

Corollaire. Si dans l'équation (lo) on. fait successivement ^ z=z z , ^ z=:z — z , on obtiendra les deux suivantes :

( ( COS. z -\- -j/^ sin. z y = COS. mz -\- ^/^ sin. m z , / ( COS. z — V^— ^ si"- - )'" = <^°s- "^^ — V'~^ ^'"" '"~"

Le premier membre de chacune de ces dernières, étant toujours un produit de m facteurs égaux , pourra être développé par la multiplication immédiate de ces facteurs, ou , ce qui revient au même, j)ar la formule de Newton. Si, après avoir effectué le développement dont il s'agit , on égale de part et d'autre dans chaque équation , i ." les parties réelles, 2.° les coefficiens de y/—', on en conclura

COS. m;:=cos.^ ^ COS.'" z sm.Z

-ï ^— COS. z sin. â; — 6LC...,

sin.?n Z =■ — COS.'" 'z sin. -3

COS. Z sin. xî H- 6LC...

On trouvera, par exemple, en supposant ??i = 2 ,

COS. 2 -3 = COS. * Z — sin.

sin. 2 -3 = 2 sin. Z cos. Z /

en supposant nizzz ^ ,

COS. ^1;= cos. z — 3 COS. s sin.* ^ ^

COS.* .3 sin. 3 — sin. Z