Théorème. Pour élever l' expressioii imaginaire

COS. t) -+- y^—\ sin. B

à la puissance du degré — m (m désignant un nombre entier quelconque ) , il suffit de multiplier dans cette expression l'arc ô par le degré — m.

Démonstration. En eiTet, d'après la définition que nous avons donnée des puissances négatives [voyez le §. i ] , on aura

(cos. 0 -+- t/— > sin. o)"'" =1 — : — — -— ■

COS. m(j -h y — I sin.mQ

Par suite, en ayant égard à la formule (9), on trouvera

(13) (cos.9-»-]/— isin.G)~'"= cos.wG — ]/— 1 sin.wô,

ou , ce qui revient au même ,

(l4) (cos.ô-»-/-^sin.Ô)-'"=cos.(-w9)-l-/^sin.(-7wG).

Après avoir établi , comme nous venons de le faire, les principales propriétés des expressions réduites, il devient facile de multiplier ou de diviser l'une par l'autre deux ou plusieurs expressions imaginaires, quels que soient leurs modules, aussi bien que d'élever une expression imaginaire quelconque à fa puissance du degré m ou — 7?i ( 7n désignant un nombre entier). On peut, en efTct , exécuter simplement ces diverses opérations à l'aide des théorèmes suivans. -'^

• 7/ Théorème. Pour obtenir le produit de deux ou de plusieurs expressions imaginaires , il suffit de multiplier le produit des expressions réduites (lui leur correspondent par le produit des modules.

DÉMONSTRATION. Le théorème énoncé se déduit immédiatement de ce principe, que ie produit de plusieurs facteurs réels ou imaginaires reste ie même dans quelque ordre qu'on les multiplie. Soient effectivement

J5 ( COS. 9 -+- ■/! sin. 9 ) , j>' ( COS. g' -h y'HT sin. g' ) , jj"(cos. ô"h- V'^ sin. 6") , &c.....

plusieurs expressions imaginaires, àorà f , f\ f" .... désignent les modules. Lorsqu'on voudra multiplier entre elles ces expressions dont chacune est le pro-. duit d'un module par une expression réduite , on pourra , en vertu du principe qu'on vient de rappeler, former, d'une part, le produit de tous les modules , de l'autre, celui de toutes les expressions réduites, puis multiplier ces deux derniers produits i'un par l'autre. On trouvera de cette manière pour résultat défmitif

(•5) j^//'. ..[cos.(6-4-6'-f-6"...)-f-v/ir7sm/j-i-ô'-t-e"...)]-,.

Corollaire //' Le produit de plusieurs expressions imaginaires est une nouvelle expression imaginaire qui a pour module le produit des modules de toutes les autres.

Corollaire 2.' Comme une expression imaginaire ne s'évanouit jamais qu'avec son module, et