I." PARTIE. CHAP. VII. I

que pour faire évanouir le produit de plusieurs niodules, ii faut nécessairement supposer fun deux réduit à zéro , il est clair qu'on peut tirer du théorème 7.^ ia conclusion suivante :

Le produit de deux ou de plusieurs expressions imaginaires ne peut s'évanouir qu'autant que l'une d'elles se réduit a zéro,

8.* Théorème. Pour obtenir h quotient de deux expressions imaoifiaires , il suffit de multiplier le quotient des expressions réduites qui leur correspondent par le quotient des modules.

Démonstration. Supposons qu'ii s'agisse de diviser l'expression imaginaire

/ (cos. 9 -t- -/^sin. ô) ,

dont le module est f , par la suivante

/(cos.6'-t-/^sin.8'),

dont !e module est/'. Si l'on désigne par x le quotient demandé , x devra être une nouvelle ex» pression imaginaire propre à vérifier l'équation

/'(cos.8'-H/-r7sin.6')jr=/(cos.G-f-/-r7sin.Ô).

Pour tirer de cette équation la valeur de x, on multipliera les deux membres par le produit des deux facteurs

-y- , COS. 6' — j/~ sin. Ô' ;

et l'on trouvera de cette manière , en écrivant -^ TOM. 1. N

au lieu de p x — ,

œ^ ^ [cos.(ô-Ô')-H/:r7sin.(8-Ô')].

On aura donc en dernière analyse , et, puisqu'en vertu du 4*^ théorème

COS. (Ô-G')-h/~. sin. (9-6')

est précisément le quotient des deux expressions réduites

COS. 0 -+- "j/— I sin. u , CCS. u' -f- ]/— j sin. D ,

il est clair qu'après avoir établi ia formule ( ï 6 ) nous devons considérer le 8.^ théorème comme démontré.

Corollaire. Si dans i équation ( 1 6) on fait 0 — o , elle donnera

\ // j3 (cos. d 4-y/i sm.t) j J3 \ '^ /

9.^ ThéorÈiME. Pour obtenir la m J"' puissance d'une expression imaginaire Cm désignant un nombre entier quelconque^ , il suffit de multiplier la m.'"' puissance de ï eocpi^ession réduite correspondante par la m,^' puissance du module.

DÉMONSTRATION. En effet , si dans le 7.^ théorème on suppose les expressions imaginaires