I.'^ PARTIE. CHAP. VII. Ï

P (cos. ô -+- -/— 1 sin. y) 5 /' (cos. 6' -H -/'— i sin. 0'^ , p" (cos. G" -H -j/— I sin. d") , 6cC

toutes égales entre elles , et en nombre m , leur produit sera équivalent à la puissance mJ^' de la première, c'est-à-dire, à

[^ ( COS. G -4- /^ sin. &) ]'" ;

et, comme dans cette hypothèse l'expression (i j) deviendra

jî*" [ COS. Wî 9 -f- ]/— ^ sin. W ô] ,

on aura définitivement

(l 8) [/^(cos.G-i-/^ sin.Ô)]"=j5'"[cos.77z9-+-/^sin.»lÔ]. L'expression réduite

COS. m 9 -H y^— i sin. m 9 étant égale (en vertu du 5.^ théorème) à

(cos. 9 -4- /=Tsin. ^Y ,

il enrésuhe qu'après avoir établi la formule (i 8) on doit considéier le théorème ^.^ comme démontré.

10.* Théorème. Pour élever une expression imaginaire à la puissance du degré — m (m désignant un nombre entier) , il suffit de former les puissances semblables du module et de l'expression réduite , puis de multiplier ces deux dernières puissances l'une par l'autre.

DÉMONSTRATION. Supposons qu'il s agisse

Ï96 COURS d'analyse.

d'élever à la puissance du degré — m l'expression

imaginaire

p ^cos. G -+■ )/— 1 sin. 9) ,

dont îe module est js. On aura, en vertu de la définition des puissances négatives,

[f (cos.0-4-/^sin. ô)]-'" =: f ^(cos. 6-+- 1/^ sm. 6) ]"

Par suite, en ayant égard à la formule (17) , on trouvera

[j=(cos.Ô-h/- sin. 0)]-'"= ^ [cos./Tzô- /=T sin.77zG] ,

OU , ce qui revient au même ,

( 1 9) [/(cos.e+Z- sin.O)]-'"=:/-'"[cos.mG-/=^sin.wô].

Cette dernière formule réunie à l'équation (i 3) fournit la démonstration complète du 10." tliéorème.

«. 3.** Sur les Racines réelles ou imaginaires des deux ■ quantités -+ 1 , — i , et sur leurs Puissances, fractionnaires.

Supposons que l'on désigne par m et n deux nombres entiers premiers entre eux. Si l'on fait usage des notations adoptées dans le premier paragraphe, tes racines w."': dç l'unité , ou, ce qui revient

ï." PARTIE. CHAP. VII. 197

au même , ses puissances du degré -^ seront les diverses valeurs de l'expression

et de même, les puissances fractionnaires de l'unité,

positives ou négatives, du degré — -, ou , seront

les diverses valeurs de

. ((.r ou (i,f\

On en conclura que , pour déterminer ces racines et ces puissances , il suffit de résoudre , i'un après l'autre, les trois problèmes suivans.

l.^' Problème. Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de l' expression

Solution, Soit x l'une de ces valeurs; et, afin de la présenter sous la forme générale qui comprend à-la-fois toutes les quantités réelles et toutes les expressions imaginaires , supposons

^ zr: r ( COS. t -+■ ;/— i sin. /) ,

r désignant une quantité positive , et ^ un arc réel. On aura , d'après la définition même de l'expression ((i))",

ou , ce qui revient au même ,

r''[cos. nt -^ |/— I sin. nt \^=. i .

On tirera de cette dernière équation [ à l'aide du

théorème i.^', §. 2]

COS. n t -\- ]/— « sin. nt^= I ;

et par suite ,

COS. nt:=: 1 , sin. W^::=:0, w/ = ± 2/:7r ,

/f représentant un nombre entier quelconque. Les quantités r et t étant ainsi déterminées , ies diverses vaieurs de .v propres à vérifier l'équation (i) seront évidemment comprises dans ia formule

( 2 ) J7 = COS. dr: y— 1 sm. .

En d'autres termes, les diverses valeurs de ((i)j seront données par l'équation

(3) {(0) " = ^««- -~^ - /^si"- -^ •

Soit maintenant h îe nombre entier le plus rapproche du rapport — . La difFérence entre les deux

nombres h , — , sera tout au plus égale à -^ ; en sorte {|u'on aura

désignant une fraction égale ou inférieure à — 5