I." PARTIE. CHAP. VII

revient au même , le nombre des valeurs de x propres à vérifier Féquation :r" = — i, restera toujours égal à n.

5." Problème. Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de l' expression

Solution. Les nombres m ein étant supposés premiers entre eux , on aura , d'après ia définition

même de l'expression (( — i )) " »

puis , en remettant pour ((— i )) " sa valeur générale tirée de l'équation (13), on trouvera

(16) {(-l)) " =:cos. \ ±:/=:7s.n. -^-^ .

Pour déduire de cette dernière formule toutes les

valeurs de (( — i)) " , il ne reste qu'à donner successivement à 2k-¥- 1 toutes les valeurs entières et impaires comprises entre o et ?i. Soient 2 X:' -t- i , 2 A* " n- i , deux de ces valeurs supposées inégaies. Je dis que les cosinus

mfik'-{-t)7r m[z fc "-{-i)'T COS. ^^ , COS. ,

seront nécessairement dilTérens l'un de l'autre. En effet , ces cosinus ne pourraient devenir égaux que

dans îe cas où les arcs qui leur correspondent seraient iiés entre eux par une équation de la forme

m (z k' -\- l) T , y , 771.(2 ii"-+- f ) T

— ^^ — • =zt: zàTT dz i: '— ,

h désignant un nombre entier. Or, on tire de cette équation

^ r ±(2r-f-.)±(zr'^-T)-|

li faudrait donc , puisque î?t est premier à ?î , que le nombre entier

fût divisible par n ; ce qu'on ne saurait admettre , attendu que, les nombres 2A''-t- i , 2^" -+• i étant inégaux, et chacun d'eux ne pouvant surpasser n, leur demi-somme , et à plus forte raison ieur demidifférence, est nécessairement inférieure à n. Ainsi deux valeurs différentes de zk-h-i comprises entre les limites o et n fournissent deux valeurs diflerentcs de

m ( 2 X- -f- ! ) T COS. .

On conclut aisément de cette remarque que les va-

leurs réelles ou imaginaires de l'expression (( — i)) "

données par l'équation (i6) sont au nombre de n^

comme celles de (( i )) " et de (( — i )) " . De plus , comme on a évidemment