PARTIE. CHAP. VIÎ. 2l

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peuvent être remplacées par deux formules. En effet, si l'on désigne par a une quantité positive ou négative dont la valeur numérique soit fractionnaire, ia valeur de ((i))'' déterminée par l'équation (3), (6) ou (8) sera évidemment

(25) ((i))" = COS. 2kavr ±1 y/^i s'in.i/taTr ,

tandis que la valeur de (( — 1 )) ' déterminée par l'équation (13) , (16) ou (20) sera

(2 6) (( — I ))"i=cos.(-2 A--H I )a7r=i=-j/^ sin.(2/:-H I )a7r.

Dans les deux formules précédentes , l'on peut prendre pour k un nombre entier quelconque.

5. 4.' Sur le$ Racines des expressions imaginaires ^ et sur leurs Puissances fractionnaires et irrationnelles.

Soit

ce, -1- ê ]/— I

une expression imaginaire quelconque. On pourra toujours trouver [voyez le §. 2] une valeur positive de j5 et une infinité de valeurs réelles de Ô propres à vérifier l'équation

(l) ct-f- C|/-i rzTjD^cos.G -t- y''-^ siiiiô).

218r COURS d'analyse.

Ceia posé, concevons que l'on désigne par ni et n deux nombres entiers premiers entre eux. Si l'on fait usage des notations adoptées dans le premier paragraphe, les racines w."*" de l'expression ct-nC]/— i , Qu , ce qui revient au même , ses puissances du

degré — seront les diverses valeurs de

et de même , les puissances fractionnaires de oc -i-C]/— I , positives ou négatives, du degré—, ou

, seront les diverses valeurs de

((ce ■+- ê ■/—')) " ou ((ot -+- C |/— •)) " .

En conséquence , pour déterminer ces racines et ces puissances , il suffira de résoudre l'un après fautre les trois problèmes suivans :