I." PARTIE. CIIAP. VII

le produit j»" [cos. a^-\- -j/— i sin. «(^ ] , dans le cas où CL sera positif, quelle que soit la valeur réelle attribuée à ia quantité a. En d'autres termes , si i'on désigne par ^ un arc compris entre les limites

;- , H , on aura , quel que soit a ,

[^ (cos, (^-H Y^\ sin.(^)]'' =/" (cos. Cl ^-^\/~ sin.a^).

Si dans l'équation précédente on fait ^ = i , elle deviendra

(28) (cos. (^-t- j/— I sin. ^y = cos.a^-+- ]/— ' sin.ar.

Cette dernière formule est entièrement semblable aux équations (10) et (14) du 2.^ paragraphe, avec cette seule différence qu'elle subsiste uniquement pour des valeurs de (^comprises entre les limites

T ' "*~ ~r > tandis que les équations dont ii s'agit

s'étendent à des valeurs quelconques de ô.

Lorsque la quantité et devient négative, on ne voit plus, même en supposant fractionnaire la valeur numérique de a, quelle est celle des valeurs de l'expression ((cc-hCiZ-i))" que Ton pourrait distinguer des autres et désigner par la notation

Mais alors, — et étant une quantité positive, il est facile d'établir, pour des valeurs (pielconques de a, ia formule

(2^) (— et— C/-^yz=:j=' (cos.^^-H/^sin.flr,^>

Nous terminerons ce paragraphe en faisant observer que , dans le cas où la valeur numérique de a devient fractionnaire , les formules (27) et (29) réduisent les équations (18) et (23) à celles qui suivent ,

(3 o) ({*+<:/-.))• = (^+€/-)' ({.))% (3 ') i^^W-'f = {-^-Cv-.y ((-.))%

l'équation (30) ayant lieu seulement pour des valeurs positives de la quantité et, et i'équation (31) pour des valeurs négatives de la même quantité.

§. 5.* Applications des principes établis dans les ^paragraphes précédens.

Nous allons appliquer les principes établis dans les précédens paragraphes à la résolution de trois problèmes sur les sinus et cosinus.

1.*' Problème. Transformer sin. iwz et cos.mz (m désignant un nombre entier quelconque') en un jjolijnome ordonné suivant les puissances ascendantes et entières de sin. z, ou du moins en un produit formé par la multiplication d'un semblable polynôme et de cos z.

Solution. Lorsque dans les équations (12) du 2.^ paragraphe on remplace les puissances paires de COS. z par des puissances entières de i — sin.'^s, ces équations deviennent , pour des valeurs paires de wî-.