I." PARTIE. CHAP. VII

COS. mz =:

/ . t NT m(m—i) f . , \ . ,

(l— sin.z)^ ^ ^(l— sm. z) a sm.*5

^ 1 i 1.1 lL(i — sin.Vs) * sin.^Z — &C... ,

sin. 77Î3 =

[m— 2 — f I — sin. Z\ I sin. Z

^ ;;- "(l — Sin. Z) ^ sin.^'z-H&C. .. ;

et , pour des valeurs impaires de ?7i , COS. 1)1 z =■

COS. ^ ni — Sin. ^j 2 ^ — ^ — (^r — sin. zj * sin. ^

-H -^ ^^ i-(l — sin.*^) a sin.*^ — &C...L

sin. mz =

-fl— sm. s) ^ sin.z— — ^^ ^{l— sin. z) ^ sm. Z

Si l'on développe les seconds membres des quatre formules précédentes , ou du moins ies coefficiens de COS. -3 dans ces seconds membres, en polynômes ordonnés suivant les puissances ascendantes et entières de sin.^^ on trouvera, pour des valeurs paires de m ,

I m f m— I I \ . » COS. m z :=. l f 1 j sin. Z

. r m . m(m — z) ftn — i îN . 5

sin.mz=: cos.xJ I — sin.^ ^ ( — ; *- Msm. -3

H -! ^ H »- jsm. ^— ..

et , pour des valeurs impaires de m ,

)S. mzzr^ COS. Z II — f — H-jsin.*Z

\ A sin. 771Z ==: — sin.vô ^ | ^-— ) sm. Z

wz(?«— iXm-3) /(wî— iXm— 4) 7n-2 5 5-3 \ . T

-+- : I . 1 , — h^^ ] sm. Z

Les équatious ( i) et (2) comprennent évidemment ia solution de la question proposée. II ne reste pius qu'à les présenter sous la forme la plus simple. Pour y parvenir, il suffira d'observer que le coefficient de chaque puissance entière de sin. z renferme généralemoit une somme de fractions à laquelle l'équation (5) du chapitre IV [§. 3 ] permet de substituer une fraction unique. Par suite de cette réduction, les développemèns de cos.inz et de sin.mz deviendront , pour des valeurs paires de 7w,

1m. m . j {m-\-i) m .m (m — 2) . 4 COS. mz^==- I sin. Z -1 ■ sin Z

(ffl4-4) {rn^2) .m. m (m— 2) (m— 4) . é „ ^ c^ """ , Sin. Aj ~T~ Cxc . « à

tm . (m+i) m (m — Sin. 5 — '■ sin.' Z