Sin. Z — is.C.é^ i

et , pour des valeurs impaires de M ^

î." PARTIE. CHAP. VII. 23o

r (m+i) (m— r) . ^ COS. 7W Z = COS. ^ I ' sin. Z

r , m . (m-f- 1 ") m fm-^ I ) . a \ sin. mz =^ — sin. Z — — ^ sin.'^-S

f H Sin. z — (xc...i

Corollaire /."' Si dans l'équation (3) on fait successivement

m =: 2 , ?}l =^ 4: J in:=i6 ^ &c. . . . , on obtiendra les suivantes

COS. 2 ^ =: I — 2 sin. Z ,

q.Z =. I — b sin.*-3 -H ô sin. -3 ,

6 3 =;; I — I 8 sin.';3 H- 4^ sin.'^^ — 3

2 sin ^

Corollaire 2.' Si dans lequation (6) on fait successivement

On en tirera

sin. ^ = sin. ^ ^

sin. :? ^ =z q sin. Z — L sin.^ Z ,

sin. ^ z =1 ^ sin. ;:. — 20 sin.' ^ -t- I 6 sin.^ Z , &C. . ....

2.* Problème. Tt-ansfoi-mer s'm.mz et cos.ms (m désignant un nombre entier quelconque ) en un polynôme ordonné suivant les puissances ascetidantes et entières de cos. z, ou du moins en un produit formé par la multiplication d'un semblable polynôme et de sin. z.

Solution. Pour obtenir les formules qui résolvent la question proposée, il suffit de remplacer, dans les équations (3), (4), (5) et (6), z par

z, et d'observer en outre qu'on a, pour des

valeurs paires de m,

COS.' (-^— — mz\ = ( — I )^ COS. mz f

sin. \— mz\ = (^ — 1 j - sin. mz ;

et , pour des valeurs impaires de m ,

(m'TT \ t \ '" — ' .

mz\ = [^ — I j"T~ sm. ItlZ ,

(VIT \ f \ '"~' mz) = (^ — 1 j~T' COS. mz.

On trouvera de cette manière , si m est un nombre pair ,

\ ( I ) ^ COS.mZ=:l COS. Z-\ ; COS. Z

^'^^ ' (m+A) (1)1+2) m .VI (m — 2) (m — 4) 6 c>

^ -" ^ — '^'^'i. Z-{-OiC.... ,

COS

\ (—1 ] ^ sin.mz=sin.Z\ - cos.Z—- -—^ cos. i

V / \ fm+4) (7n-hi) m {m—i) fw— 4) 50 1

/ ~\ — — — — — COS. .S — ccc... ;