Problèivte. Exprimer les puissances entières

de sin. z et de cos. z en fonction linéaire des sinus et cosinus des arcs z, iz, -^z, &c.

Solution. On résout facilement ce problème , en ayant égard aux propriétés des deux expressions imaginaires conjuguées

COS. ^ -}- |/— « sin.^^ COS. ^ — K~' siiî.^.

Si l'on désigne la première par u^ et la seconde par f , on aura

2 COS. Z :=^ U -\- V f 1 sin. Z ]/— I =2^ — V.

En élevant les deux membres de chacune des équations précédentes à la puissance entière du degré m, les divisant ensuite par 2 ou par 2 }/—' , puis effectuant les réductions indiquées par ies formules

=Z COS. n z , r=rr- =Z Slll. 71 Z .

dont les deux dernières subsistent pour des valeur» entières quelconques de n , on trouvera , si m représente un nombre pair ,

COS

^ z:=. COS. m^ -H — COS. (m — 2 . .3)

VI [m — I )

(ici/ 1.2 \ ^ I