VX V
Considérons maintenant la notation
dans le cas oià, la constante a restant réelle, la va» riable .r obtient la valeur imaginaire
et -t- Cy^-^J := p ( COS. 9 •+- |/— ' sin. 0),
î.'^ PARTIE. CHAP. VIII. 243
Si l'on prend pour a une quantité dont la valeur numérique soit un nombre entier m, cette même notation, savoir,
aura, pour des valeurs réelles quelconques de et et de C, une signification précise. Elle représentera l'expression imaginaire
/"' COS. W/9 -^f'" sin. 772 ô . Y^i ,
si a=z-\-m ; et la suivante
f-'" COS. m 9 — f-"" sin. 77^9 . -/^ ,
si a = m ; rvoyez Ic cliapitre VII, §. 2, équations (18) et (19)]. Mais, toutes les fois que la constante a recevra une valeur numérique fractiop.naire ou irrationnelle , la notation
n'aura plus de valeur précise et déterminée, à moins que la partie réelle cl de l'expression imaginaire a: ne soit positive. Si dans ce cas particulier on fait
(, — a»-c tan-. — ,
l'arc (^ restera compris entre les limites — — , -t- — • et , en écrivant .r au lieu de et h- C /^ dans le 4.' paragraphe du VII.^ chapitre [équations (17) >gt (27)], on trouvera
M4 COURS d'analyse.
en sorte que la notation a:" désignera l'expression imaginaire
f" COS. a^-h f' sin. a^.y^^.
lî suit encore des conventions et des principes cidessus établis [cliap. VIÎ, 5§. 3 et 4], que, pour une valeur numérique fractionnaire de la constante a, la notation
représente à-îa-fois plusieurs expressions imaginaires, dont les valeurs sont données par les deux formules
P))" = ^"[[1 )y , (( I ))" = COS. 2/m7r =b y^ sm.ikaTr ,
lorsque la partie réelle et de l'expression imaginaire œ est positive , et par les deux suivantes
(Wr = (-^ y ((-!))■■,
((— ijy = cos.(2/r-t-l)<27r rh Y^\ s\n.{2k-^-\')a'7r ,
lorsque la quantité cl devient négative ; [voyez à ce sujet, dans le 4-^ pai^^g^'^pî^^ ^" chapitre VII, les équations (25) et (26)]. La même notation ne peut plus être employée dans le cas où la valeur numérique de a devient irrationnelle.
Les expressions de la forme
conservent les mêmes propriétés pour des valeurs réelles et pour des valeurs imaginaires de la variable, tant; que l'exposant a pour valeur numérique
î." PARTIE. CHAP. VITI. 24o
nn nombre entier ; mais ces propriétés ne subsistent plus que sous certaines conditions dans le cas contraire. Soient , par exemple ,
:V=zcL-hC/^, 7/=0L'-}-Cy^, ^-a."-h-^V^, &C...
plusieurs expressions imaginaires , qui se réduiront à des quantités réelles, si C, ^', C" s'évanouissent. Désignons, en outre, par «, ^, c . . . des quantités réelles quelconques, dont les valeurs numériques soient fractionnaires ou irrationnelles, et par m, m', in . . . plusieurs nombres entiers. On aura constamment, en vertu des principes établis dans le VII.'^ chapitre ,
•r"'" . a:'"" ' . X-"' "... = ^^-r^-m'-in "...
.*' .u, .jc ... — X ( chacun
des nombres m, m", ni'. . .devant être allectc du même signe dans les deux membres);
On trouvera au contraire que des trois formules
(6) .r-^y--... ^ {.ryz....y.
Ja première subsiste uniquement toutes les fois que ia partie réelle au de l'expression imaginaire x est positive; la seconde, toutes les fois que, et, et', cl" ... étant positifs , la somme
arc tang. -- -+• arc tanij. — ;- -+- arc tang:. — - -4- . . . ° a. ^ a. "a
reste comprise entre les limites — — , -4- — ; et la
dernière, toutes les fois que, et étant positif, le produit
a . arc tangr. —
'' et
est compris entre ces mêmes limites.
Les conventions faites dans le VII. ^ chapitre ne suffisent pas encore pour fixer d'une manière pré-* cisc le sens des notations
A^ , L.V f sin..r^ COS. .^'^ arcsin..r^ arccos. JT,
dans le cas on la variable x devient imacfinaire. Le moyen le plus simple d'y parvenir étant la considération des séries imaginaires , nous renvoyons ce sujet au chapitre IX.
D'après ce qui a été dit ci-dessus, toute notation algébrique , qui renfermerait , avec les variables x , y, z .... supposées réelles, des constantes imaginaires , ne peut être employée dans le calcul que dans le cas où , en vertu des conventions établies, elle aurait pour valeur une certaine expression ima-
