I.'* PARTIE. CHAP. VIII. 2i

ginaire. Une semblable expression , dans laqr.eile fa partie réeile et le coefficient de |/— i sont nécessairement des fonctions réelles des variables .r, y, z ... , est ce qu'on appelle une fonction imaginaire de ces mêmes variables. Ainsi , par exemple , si ion désigne par <p(.r) et %(-^) deux fonctions réelles de x , une fonction imaginaire de cette variable sera

Quelquefois nous indiquerons une semblable fonction à l'aide d'une seule caractéristique 'Zm , et nous écrirons en conséquence

Pareillement , si l'on désigne par <pÇr , y, z ) ,

^{x , y, z ....) deux fonctions réelles ^qs> variables X, y, z .... ,

sera une fonction imaginaire de ces diverses variables.

La fonction imaginaire

<^{x,y, z...)-^ Xi-r, y, z ...) /-:?

prend le nom de fonction algébrique, ou exponentielle, ou logarithmique, ou circulaire, occ... , et, dans le premier cas, le nom de fonction rationnelle ou irrationnelle, entière ou fractionnaire, ^c, toutes les fois que les fonctions réelles Cp(.r, y, z ...), Xi'V/y, z ...) jouissent l'une et l'autre des propriétés

114S COURS d'analyse.

que suppose le nom dont il s'agit. Ainsi , en particulier, la forme générale d'une fonction imaginaire et linéaire des variables œ , y, z . .. . sera

{a-\-hœ-^cy-^dz-^. . ^-k-{ci -\-b' ,x-^c' y-\-d' z-^. . .)}^~ , ou , ce qui revient au même ,

«-}-«' /iiT-»-(i-i-i' /ITT >'-h(c-i-c'y/zrr)y+(«?-+-rf'-/ii7>-i-&c. . , ,

a, h , c , cl , ... a' , h' , c , d , ... désignant des constantes réelles.

On doit distinguer encore parmi les fonctions imaginaires , comme parmi les fonctions réelles , celles qu'on nomme explicites, et oui sont immédiatement exprimées au moyen des variables , de celles qu'on nomme implicites, et dont les valeurs déterminées par certaines équations ne peuvent être explicitement connues qu'après la résolution des équations dont il s'agit. Soit

'ZB'i^x') ou '^r(.-r, y, z, ...)

une fonction imaginaire implicite déterminée par une seule équation. On pourra représenter cette fonction par u->t-vY~\ ^ u, v désignant deux quantités réelles; et, si dans l'équation imaginaire qu'elle doit vérifier on écrit, au lieu de 'Zïr(.z), ou de ^[x,y, z, ...),

après avoir développé les deux membres, puis égalé de part et d'autre les parties réelles et les coefficiens