I." PARTIE. CHAP. VIII

do )/^ , on obtiendra deux équations réelles entre ies fonctions inconnues u et v. La résolution de ces dernières équations, lorsqu'elle pourra s'effectuer, fera connaître les valeurs explicites de u et de v , ^èi par suite la valeur explicite de l'expression imaginaire

Il -\- V -[/—i.

Pour qu'une fonction imaginaire d'une seule variable soit complètement déterminée , il est nécessaire et il suffit que de chaque valeur particulière attribuée à la variable on puisse déduire ia valeur correspondante de la fonction. Quelquefois , pour chaque valeur de la variable, la fonction donnée en obtient plusieurs différentes les unes des autres. Conformément aux conventions précédemment admises, nous désignerons ordinairement ces valeurs nmltiples d'une fonction imaginaire par des notations dans lesquelles nous ferons usage de doubles traits ou de doubles parenthèses. Ainsi , par exemple,

W COS. Z -h )/— I sin. Z ,

ou

(^ COS. Z -h- 1/— ' sin. z'jj"

indiquera l'une quelconque des racines du degré Jt de l^xpression imaginaire

COS. z -+- }/—i sin. Z.

5. 2/ Sur les Expressions imaginaires injiniment petites , et sur la continuité des Fonctions imaginaires.

Une expression imaginaire variable est appelée infiniment petite , lorsqu'elle converge vers la limite zéro ; ce qui suppose que dans l'expression donnée la partie réelle et le coefficient de \/~\ convergent en même temps vers cette limite. Cela posé , représentons par

cC -H G|/— I ==^ P fcos. 0 -f- "j/— ' sin. 0 )

une expression imaginaire variable; cl, Qy désignant deux quantités réelles , auxquelles on peut substituer le module f et l'arc réel ô. Pour que cette expression soit infiniment petite , il sera évidemment nécessaire et suffisant que son module

soit lui-même infiniment petit.

Une fonction imaginaire de la variable x supposée réelle , est appelée continue entre deux limites données de cette variable , lorsqu'entre ces limites un accroissement infiniment petit de la variable produit toujours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même. Il en résulte que la fonction imaginaire

sera continue entre deux limites données de .r , si