I." PARTIE. CHAP. Vin

ies fonctions réelles <p{'V) et %(^) restent continues entre ces limites.

On dit qu'une fonction imaginaire de la variable a: est , dans le voisinage d'une valeur particulière de .T, fonction continue de cette variable, toutes les fois qu'elle reste continue entre deux limites même trèsrapprochées, qui renferment la valeur dont il s'agit.

Enfin , lorsqu'une fonction imaginaire de la variable :r cesse d'être continue dans le voisinage d'une valeur particulière de cette variable , on dit qu'elle devient alors discontinue , et qu'il y a pour cette valeur particulière solution de continuité.

En partant des notions qu'on vient d'établir relativement à la continuité des fonctions imaginaires , on reconnaîtra facilement que les tliéorèmes i , 2 et ^ du 11.^ cbapitre [§. 2] subsistent dans le cas même où l'on remplace les fonctions réelles

/(.r) et f{x,y, z . . . .) par des fonctions imaginaires

On peut en conséquence énoncer les propositions suivantes.

1.^' Théorème. Si les variables réelles x, y, z ... ont pour limites les quant it es fixes et dètenninées X, Y , z ... ^ et que la fonction imaginaire

<^{.r, y, z...)^ ;^(.r, y, z ...) /~ soit continue par rapport a chacune des variables

x,y, z ... dans le voisinage du système des valeurs particulières

X=zX, 7J zzz Y , Z :=i Z , &C ,

aura pour limite

ou , si l'on fait , pour abréger ,

Cp(j7, 7J, z..)^^^^^, y, ^...)/^ zrr -ZST^^K, y, Z...) ,

'Er(a:, y, ^, ...) aura pour limite fzs [x, Y, Z, ...).

2.^ Théorème. Désignons par x, y, z . . . plusieurs fonctions réelles de la variable t , qui soient co7iiinues par l'apport à cette variable dans le voi- .sinage de la. valeur réelle t ^izt. Soient de plus

X, Y, Z ... les valeurs particulières de x,y, z

correspondantes a t-=iT ; et supposons que dans le voisinage de ces valeurs particulières la fonc-

tion imaginaire

soit en même temps continue par rapport a x, par rapport à y , par rapport à z , &c... : rs [x, y, z ...), considérée comme une fonction imaginaire de^ t , sera encore continue par rapport à t , dans le voisinage de la valeur particulière t = t.

Si dans le théorème précédent on réduit les variables x,y, z ... à une seule , on obtiendra l'énoncé suivant.