I." PARTIE. CHAP. VIII

mule précédente, s'évanouisse avec x, il faut que l'on ait

c'est-à-dire, «0 = 0 et è,r=o, auquel cas la valeur de '5r(.r) se réduit à

'cr(jr) = (rt,-H^,|/-^).r-i-(«^-H^^|/^.i"*-i-&c. . .

Ainsi , toute fonction imaginaire et entière de la variable x , lorsqu'elle s'évanouit avec cette variable , est le produit du facteur x par une seconde fonction de la même espèce , ou , en d'autres termes, est divisible par x. En partant de cette remarque , on étendra facilement les théorèmes i et 2 du chapitre IV [§. i.^'] au cas où les fonctions entières qui s'y trouvent mentionnées sont en même temps imaginaires. J'ajoute que ces deux théorèmes subsisteront encore , si l'on y remplace les valeurs particulières et réelles attribuées à la variable x , telles que

par des valeurs imaginaiies

Ct„-+-^„]/~, Ct.-H^,/-! , ct^H-^^/^, &C....

Pour démontrer cette assertion , il suffit d'établir les deux propositions suivantes.

!.'"■ Théorème. Si une fonction imaginaire et entière de la variable x s'évanouit pour une valeur

parliculière de cette variable , par exemple , pour

cette fonction sera divisible algébriquement par

DÉMONSTRATION. En effet, soit

'sr(.r)r=:d)(^)H-;^(^)/=T la fonction imaginaire dont il s'agit. Si l'on y fait

^ = ûto -4- Co |/— I -H -5 ,

z désignant une nouvelle variable , on obtiendra évidemment pour résultat de la substitution une fonction imaginaire et entière de z , savoir ,

et , comme cette fonction de z devra s'évanouir pour ;:=^o, on en conclura que

est divisible par

z ^:i X — Ct„ — b„ >/-' .

Corollaire //" La proposition précédente subsiste dans le cas même où la fonction ^(^) s'évanouit, c'est-à-dire, dans le cas où -sr^x) se réduit à une fonction réelle C]>(.^).

Corollaire 2/ Le théorème précédent subsiste encore, lorsqu'on suppose C=o , et par conséquent lors^que la valeur particulière attribuée à la variable ^' est réelle^