I."' PARTIE. CHAP. VIII

2.' Théorème. Si une fonction imaginaire et entière de la variable x s'évanouit pour chacune des valeurs particidières de x comprises dans la suite rioi/i^otjfi'.^

n désignant un nombre entier quelconque , cette fonction sera équivalente au produit des facteurs

X — CCo — Co]/'^, -T — *,— é"; y^I^, x — a^ — ^, yHI, &c....

2)ar îine nouvelle fonction imaginaire et entière de la variable x.

D fi: M ON S TRA TION. Soit

'5r(^)=:Cp(:c)-^;^(.r)/=T ■-

la fonction proposée. Comme elle doit s'évanouir pour

elle sera, en vertu du théorème i.^*", algébriquement divisible par

^v — ct^ — b, /-i ;

et l'on aura en conséquence

(2) -ar (x) = (.r — <x„ — C /~) 0„ ,

Qo désignant une nouvelle fonction imaginaire et entière de la variable ^. La fonction '5r(.r) devant TOM. I. R

s evunouii:" encore , iorsqu'on suppose

cette siii)T)Osition réduira nccessairenjent à zéro le second membre de 1 équation (2) , et par conséquent i'un des deux facteurs qui le composent [voyez ie Vn.^ chapitre, §.2,7.^ théorème, corollaire 2]. De plus, comme le premier facteur

jr — c3t„— C/-' ne peut devenir nul pour

^ = et, -i- tj )/— I ,

tant que les valeurs particulières

cL^-hC/-^» et. -H^, /-i

sont distinctes l'une de l'autre, il est clair qu'en attribuant à :r la seconde de ces deux valeurs on devra réduire à zéro la fonction entière Q„, et par suite , que cette fonction entière sera divisible algébriquement par

:r — ce, — Ê, )/^.

On aura donc

Q désignant une nouvelle fonction imaginaire et entière de la variable x ; en sorte que l'équation (2) pourra se mettre sous la forme

(3) ^(;r)=(;r-ct-ê./=T)(x-ct.-êy:^)Q,.