I." PARTIE. CHAP. Vin. 2nl

réelles ou imaginaires des variables, des fonctions, et des constantes. Ainsi , par exemple , on reconnaîtra en particulier que l'équation (6) du 3 .^ paragraphe , savoir ,

a lieu pour des valeurs imaginaires quelconques des variables x et ij.

5. 5.' Détermination des Fondions imaginaires continues d'une seule variable propres cïvérijier certaines conditions .

Soit

-sr (.r) =r <p (.27) -4- /~ X {^)

une fonction imaginaire continue de la variable x , <^{x) et yjx) désignant deux fonctions continues , mais réelles. La fonction imaginaire 'Zîr(^) sera complètement déterminée , si elle est assujettie à vérifier, pour toutes les valeurs réelles possibles des variables x Q.iy , l'une des équations

(1) '5r(.r-Hy)=: '?îr(.i-)-+-'sr(y),

(2) '3r(^--+-y)=z 'sr(.r)x 'sr(y) ;

ou bien , pour toutes les valeurs réelfes et positives des mêmes variables, l'une des équations suivantes

562 coiTRS d'analyse,

(4) '5r(^y) = 'sr(.r) x -ôt (y).

Nous allons résoudre successivement ces quatre équations , ce qui nous fournira quatre problèmes analogues à ceux que nous avons déjà traités dans le I /"" paragraphe du V.'' chapitre.

l.^*" Problème. Déterminer la fondion imaginaire ^ (^x) de maiiière qu'elle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la variable x , et que l'on ait, pour toutes les valeurs réelles des variables x et y,

(i) -ar (j7 -H 7/) = tïT (.r) -+- -ar (y).

Solution. Si , à l'aide de la formule

'3r(x) = Cp(.r)-^;:^(.r)/~,

on remplace dans l'équation (i) la fonction imaginaire -ar par les fonctions réelles Cp et ^ , cette équation deviendra

puis l'on en conclura, ëh égalant de part et d'autre les parties réelles et les coefTiciens de ]/— i »

On tirera de ces dernières formules [voyez ie chapitre V, §. I, I." problème]