PARTIE. CHAP. VIII. 2G

Cp(.^):=:.rq)(l),

et par suite

on , ce qui revient au même ,

(6) -^Çv) = x'zs'{i).

II suit de l'équation (5) que toute valeur de 'sr{x) propre à résoudre la question proposée est nécessairement de la forme

(7) 'ZiT {a:) = {a -\- b -Z^) X ,

a, h désignant deux quantités constantes. H est d'ailleurs facile de s'assurer qu'une semblable valeur de Ts" (.r) vérifie l'équation ( i ) , quelles que soient les deux quantités a Qi b. Ces quantités sont donc deux constantes arbitraires.

On peut remarquer que , pour obtenii" la valeur précédente de 'Z«r(a7), il sulTit de remplacer, dans la valeur de Cp(^) que fournit l'équation (7) du V.* chapitre [§. i.^"^], la constante arbitraire et réelle a par la constante arbitraire , mais imaginaire ,

2.* Problème. Déterminer la fonetion imaainaire is (x) de manière qu'elle reste eontinue entre deux limites réelles quelconques de la variable x , et que l'on ait, pour toutes les valeurs réelles des variables x et y ,

(2) «ar (jT-Hy) = -sr (.r) . '2r(y).

Solution. Si dans l'équation (2) on fait j:=;:o, on en tirera

•2r(o) = I , ou , ce qui revient au même [ à cause de la formule

et par suite

La fonction CD (.^■) se réduira donc à l'unité pour la valeur particulière o attribuée à ia variable jc ; et, puisqu'on la suppose continue entre des limites quelconques, il est clair qu'elle sera, dans le voisinante de cette valeur particulière , très-peu différente de i'unité , par conséquent positive. On pourra donc , en désignant par cl un nombre très -petit, choisir ce nombre de manière que la fonction <p(^) reste constamment positive entre les limites

.r = o , J7 =: et.

Cette condition étant remplie , comme la quantité Cp (<t) sera elle-même positive , si l'on fait

/ = /[(^^)^ -+- (%^)^] , i^ arc tang. -^* , on en conclura

^{a) z=z c})(ct)-»-;^(cL) /:=: =/ [cos. (^H- y^^ «n. ^].