I." PARTIE. CHAP. VIII. 2G

ûc 'ZS'imau), on trouvera

ou , ce qui revient au même ,

et par suite

%(-?r^)=/-^sin. (^():

puis , en supposant que la fraction -^ varie de manière à s'approcher indéfiniment du nombre /m , et passant aux limites , on obtiendra les équations

desquelles on conclura

(8) «eïT (//,ct) = j3 [oos. //t(^-+- 7/— i sin. /M,^].

De plus, si dans iequatlon (2) on pose j: = ju,ct, y=r — i^dL, on en tirera

La formule ( 8 ) subsistera donc lorsqu'on y remplacera f^ par — ,a. En d'autres termes , on aura ,

pour des valeurs réeiles quelconques positives ou

négatives de la variable a: ,

\9) '7s{a.x) =y [cos. (x + y/ZITsin. ^j-] = [-ar(a)]'.

Si dans cette dernière formule on écrit — au lieu

de .Vj elle deviendra

et, si l'on fait ensuite, pour abréger,

on trouvera

(12) 'Z^'(.r) = A" [cos. hx-\-y—\ sin.Ar],

Ainsi, toute valeur de "^(x) propre à résoudre la question proposée sera nécessairement de la forme

.<4 "" [cos. ^X -H )/— I sin. ^.r] ,

A f h désignant deux constantes réelles , dont fa première ne pourra être que positive. H est d'ailieurs facile de s'assurej' qu'une semblable valeur de -ziT {x) vérifie l'équation (2) , quelle que soit la valeur du nombre A et celle de la quantité h. Ce nombre et cette quantité sont donc des constantes arbitraires. COROLLAI RE. Dans le cas particulier oi\ la fonction Cp(.r) doit rester positive entre les limites .r:i=o, x=^\ , on peut, au lieu de supposer cl trèspetit, prendre ct== i ; et l'on conclut alors immédiatement des équations (c^) et ( i o)