I." PARTIE. CHAP. VIII

3.* Problème. Détenniner la fonction imagînaij^e 'isrix^ de manière qu elle reste continue entre deux limites positives quelconques de la variable x , et que l'on ait ^ pour toutes les valeurs positives des variables x et ij ,

(3) '5r(.ry)=r'ar(.r)-4-'ar(y).

Solution. Si , à l'aide de la formule

'3r(x) = Cp(x)H-;:/(.r)/=T,

on remplace dans l'équation (3) ia fonction imaginaire -zr par les fonctions réelles Cp et p^^ , puis , que l'on égale de part et d'autre les parties réelles et les coefficiens de -/—^^ on trouvera »,

Cp(jry) = CÎ)(.2-)-+-Cp(y),

Si de plus on désigne par A un nombre quelconque, et par L la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est A , on tirera des équations précédentes [voy. le chapitre V, §. i .", 3.^ probl.]

cp(.r) = cp(^).Z.(.r), et l'on en conclura

(.4) ^(.r) = lo{A) ^ x('4)/~]. £.(.<■),

ou , ce qui revient au même ,

270 COURS d'analysk.

(15) 'sr {.t) := ^ {A) , L {.t).

Il suit de la formule ( 1 4) que toute valeur de 'ZET (.r) propre à résoudre la question proposée est nécessairement de la forme

(16) 'îsr {a:) = [a -^ b >/^) L {x) ,

a, b désignant deux quantités constantes. H est d'ailleurs facile de s'assurer qu'une semblable valeur de ^nr{x) vérifie l'équation (3), quelles que soient les quantités aetb. Ces quantités sont donc deux constantes arbitraires.

On peut remarquer que , pour obtenir la valeur précédente de 'sr Çr) , il suffit de remplacer , dans la valeur de Cp(^) que fournit l'équation (12) du V."^ chapitre [§. i.^*^], la constante arbitraire et réelle a par la constante arbitraire , mais imaginaire ,

Nota. On pourrait amver très-simplement à l'équatiou (i 5) de la manière suivante.

En .vertu des formules identiques

Lx Ly

œ^A , y^ A , l'équation (3) devient

f Lx -^Ly \ J lx \ f Ly \

'ZffxA }—^[A )-h^[A j.

Comme dans cette dernière les quantités variables Xo:, Ly admettent des valeurs réelles quelconques positives ou négatives, il en résulte qu'on aura, pour