PARTIE. CHAP. I

et nous mettrons au nombre des fonctions composées les autres lignes trigonométriques tang. x, sec x , &c. avec ies arcs correspondans , arc tang. x , arc sec x ,

&c ; attendu que ces dernières lignes peuvent

toujours être exprimées par le moyen du sinus et du cosinus. Nous pourrions même, à ia rigueur, réduire les deux fonctions simples sin. x et cos. x à une seule , puisqu'elles sont liées entre elles par l'équation sin.^ x -i- cos.^ j- =r i ; mais l'emploi de ces deux fonctions est si fréquent, qu'il est utile de les conserver toutes deux à- la- fois dans ic calcul comme fonctions simples»

§. 3.* Des Fonctions, composées.

Les fonctions qui se déduisent d'une variable à i'aide de plusieurs opérations prennent le nom de fonctions composées ; et l'on distingue parmi ces dernières les fonctions de fonctions qui résultent de plusieurs opérations successives , la première opération étant effectuée sur la variable , et chacune des autres sur le résultat de l'opération précédente. En vertu de ces définitions,

sont des fonctions composées de la variable x ; et

/(sin. jf), /(cos, .r), &C. . . .

des fonctions de fonctions , dont chacune résulte de deux opérations successives.

Les fonctions composées se distinguent îes unes des autres par la nature des opérations qui les produisent. H semble que l'on devrait nommer fonctions algébriques toutes celles que fournissent les opérations de l'algèbre ; mais on a réservé particulièrement ce nom à celles que l'on forme en n'employant que les premières opérations algébriques, savoir, l'addition et la soustraction, la multiplication et la division, enfin l'élévation à des puissances fixes; et» dès qu'une fonction renferme des exposans variables ou des logarithmes, elle prend le nom de fonction ejcponentieUe ou logarithmique.

Les fonctions que l'on nomme algébriques se divisent en fonctions rationnelles et fonctions irrationnelles. Les fonctions rationnelles sont celles dans lesquelles la variable ne se trouve élevée qu'à des puissances entières. On appelle en particulier y^^zciion entière tout polynôme qui ne renferme que des puissances entières de la variable , par exemple ,

a-^hx-^coc'-\- &c. . . , ,

^t fonction fractionnaire ou fraction rationnelle le quotient de deux semblables polynômes. Le degré d'une fonction entière de a; est l'exposant de la plus haute puissance de jc dans cette même fonction. La fonction entière du premier degré , savoir ,

a -+- hx

s'appelle aussi fonction linéaire ^ parce que, dans l'application à fa géométrie, on s'en sert pour re-

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présenter l'ordonnée d'une ligne droite. Toute fonction entière ou fractionnaire est par cela même rationnelle , et toute autre espèce de fonction algébrique est irrationnelle.

Les fonctions que produisent les opérations de la trigonométrie sont désignées sous le nom de fonctions ti'i g onomé triques ou circulaires.

Les divers noms , que l'on vient d'attribuer aux fonctions composées d'une seule variable, s'appliquent également aux fonctions de plusieurs variables , lorsque ces dernières fonctions jouissent , par rapport à chacune des variables qu'elles renferment , des propriétés que supposent les noms dont il s'agit. Ainsi, par exemple, tout polynôme, qui ne contiendra que des puissances entières des variables œ, y, z . , .^ sera une fonction entière de ces variables. On appelle degré de cette fonction entière la somme des exposans des variables dans le ternie où cette somme est la plus grande. Une fonction entière du premier degré, telle que

a-\-hx-\-cy-\-dz-\- &c. . . . ,

prend le nom de fonction linéaire.