I."^ PARTIE. CHAP. IX
îe seronf également [chap. VI, §. 3 , 4-' théorème] ; et la convergence de ces dernières entraînera ceile de la série (12), qui n'est que la série (3) présentée sous une autre forme.
Supposons en second lieu que , pour des valeurs
croissantes de n , les plus grandes valeurs de (j3„) " convergent vers une limite supérieure à i'umté. Dans cette hypothèse on prouvera , par un raisonnement semblable à celui que nous avons employé dans le VI/ chapitre [§. 2 , i ." théorème] , que les plus grandes valeurs du module
croissent avec n au-delà de toute limite , ce qui ne peut être vrai qu'autant que les plus grandes valeurs des deux quantités p^, q„, ou au moins de l'une d'entre elles, croissent de même indéfiniment. Or, comme ces deux quantités sont les termes généraux des séries (1) et (2) , on doit conclure que de ces deux séries , l'une au moins est divergente ; ce qui suffît pour assurer la divergence de la série (3).
ScHOLlE i."' Le théorème qu'on vient d'établir ne laisse d'incertitude sur la convergence ou la divergence d'une série imaginaire que dans le cas particulier où la limite des plus grandes valeurs de
{f„) " devient égale à l'unité. Dans ce cas particulier il n'est pas toujours facile de décider la question. Toutefois on peut alarmer que, si la série (13)
est convergente , les séries ( i 4)^^ par suite la série (12) le seront pareillement. La réciproque n'est pas vraie , et il pourrait arriver que , la série ( i 2) restant convergente, la série (i 3) fût divergente. Ainsi, par exemple, si l'on suppose
on obtiendra, à la place des séries (12) et (13), ies deux suivantes
dont la seconde est divergente, tandis que la première reste convergente , et a pour somme
/ désignant la caractéristique des logarithmes népériens.
ScHOLiE 2' Lorsque , pour des valeurs croissantes de n, le rapport
Sa
s'approche indéfiniment d'une limite fixe , cette
limite est également celle vers laquelle convergent
les plus grandes valeurs de l'expression (j2„) " .
Le 5.'' théorème du 3. ^paragraphe [chap. VI] est évidemment applicable aux séries imaginaires aussi bien qu'aux séries réelles. Quant au théorème 6.^ du
