I." PARTIE. CHAP. IX

même paragraphe , on doit , lorsqu'il est question de séries imaginaires , le remplacer par le suivant. 3.* Théorème. Soient

deux séries convergentes, mais imaginaires, qui aient respectivemeiit pour sommes s et s'. Si chacune de ces séries reste convergente lorsqu'on réduit ses différens termes à leurs modides respectifs,

(lO) /

( ... UnV,-\-U„,l\-^...-\-U,V„,-\-U,V„, 6.C.

sera une nouvelle série convergente imaginaire , qui aura jjour sonune ss .

DÉMONSTRATION. Désignons respectivement par s„, s„' les sommes des ?i premiers termes des deux séries (i 5), et par s„" la somme des n premiers termes de la série (16). On trouvera

... ■^[Un-i'^<-^U„A'.^-^...^U^V„.^^U,V,,^,).

Désignons encore par ^., et j>^ les modules des expressions imaginaires w„ et t\,, en sorte que ces expressions soient déterminées par des équations de la forme

2/„ =/,., (cos.ô„ -+- ]/-! siii.O,, ) ,

Les séries réelles

étant convergentes par hypothèse , on en conchira , comme dans le chapitre VI [§. 3 , 6/ théorème], que la somme

converge , pour des valeurs croissantes de n , vers ia limite zéro. Il en sera de même à fortiori des deux sommes

j? „,/„, COS. (9,,^, + e'„, )

-^ [ -p^-i /«-i COS. (e„,-he'„,) -I- jî»-^ /„^. cos.(9„;,-4-e'„^j]

-+- [j'«-. /, cos.(e„, -1-9' j-i-j'„^ y^ cos.(9,.^ -h9',) -h . . .

... -t-J'iJ'^-i COS. (9^-1-9' „J -4-^, /„, cos.(9, -t- 8' „,)],

et

-H [i'„ ,/„„, sin.(9„.-l-9'„^J-t-J>„, /„, sm.(9„,H-9'„,)] -t-

-i- \.S>n-. /, sin-(e.-. -^ e',)-H S>.-. y 2 sin.(9„, -+- 9' J -J" • • . ... -HJ'; J'n z^'"-(9. -1-6'„J-+-J'i y„-, sm.(9, -f- 0' „,)].

dont !a première représente évidemment ïa partie réelle de l'expression imaginaire