I." PARTIE. CHAP. IX

tandis que la seconde représente le coefficient de y~i dans cette expression. Par suite , s^s\ — s\ convergera aussi, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite zéro : et , comme s„ s„' .9'approche indéfiniment de la limite ss' , il faudra de toute nécessité que l'expression s„" , c'est-à-dire , la somme des n premiers termes de la série (16), s'approche elle-même indéfiniment de cette dernière limite. II en résulte , i .° que la série (16) est convergente , 2,.° que cette série convergente a pour somme ss .

§. 2.' Des Séries imaginaires ordonnées suivant les puissances ascefidantes et entières d'une variable.

Soit X une variable imaginaire. Toute série imaginaire ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable ^ sera de la forme

fl^, rt^, «^, ... a„, &c.... ; b^, b^,l?^ ... ^„, &c..., désignant deux suites de quantités constantes. Dans le cas où les constantes de la seconde suite s'évanouissent, la série précédente se réduit à

Nous considérerons en particulier dans ce paragraphe les séries de cette dernière espèce. Si , pour plus de commodité, l'on pose

(2) a: :=■ Z ^cos.u -+- )/— I sin. 9^ ,

z désignant une variable réelle et 9 un arc réel , îa série (i) deviendra

f Oo, ai3(cos.9-1-y/i sin.Q), a^3*(cos.29-+-y^^sin,29)... ) . . . a^z" (cos.7j9^-y/i:Tsin.729) , &c. . ...

Soit maintenant , comme dans le chapitre VI [§. 4] 5 -^ ^^ plus grande des limites vers lesquelles converge, tandis que fi croît indéfniiment, la racine 71."'' de la valeur numérique de a^. La plus grande des limites , vers lesquelles convergera dans la même hypothèse la racine ??.'"' du module de l'expressioa imaginaire

a^ .v" = a„ z" ^cos. 72 Ô -+- ]/— I sin. wô),

sera équivalente à la valeur numérique du produit

Az;

et en conséquence [voy . ci-dessus le §. i ." , 2 .* théor,] la série (3) sera convergente ou divergente suivant que le produit Az aura une valeur numérique inférieure ou supérieure à l'unité. On déduit immédiatement de cette remarque la proposition suivante.

1." Théorème. La série (3) est convergente pour toutes les valeurs de z comprises entre les limites

et divergente jjour toutes les valeurs de z situées