I." PARTIE. CHAP. IX

hors des mêmes limites. En d'autres termes , la série [i) est convergente ou divergente suivant que le module de l' expression imaginaire x est inférieur

ou supérieur a

ScHOLiE. Lorsque la valeur numérique du rapport — îî-i^ converge , pour des valeurs croissantes

de n , vers une limite fixe , cette limite est précisément la valeur de la quantité positive désignée par A.

Corollaire if En comparant le théorème précédent au i.^"" théorème du chapitre VI [§. 4]» ^^ reconnaîtra que , si la série ( i ) est convergente pour une certaine valeur réelle de la variable x , elle demeurera convergente pour toute valeur imaginaire dont cette valeur réelle serait , au signe près , le module. Par suite , si la série (i) est convergente pour toutes les valeurs réelles de la variable x , elle restera convergente , quelle que soit la valeur imaginaire que l'on attribue à cette variable.

Corollaire 2.' Pour appliquer le premier théorème et le précédent corollaire , considérons les quatre séries

(4) I , X , x", .... x" , kc ,

(5) I , ii^, M^i=2)^-,..M.^-0-(/^-n4-0^.^^.^

fx désignant dans la seconde une quantité quelconque. De ces quatre séries les deux premières , ainsi que la dernière , restent convergentes pour toutes les valeurs réelles de a: comprises entre les limites

et la troisième pour des valeurs réelles quelconques de la variable ,r. Mais si , au iieu d'attribuer à x une valeur réelle , on suppose

X ^=^ Z (cos, 9 -H i/— 1 sin. 9 ) ,

à la place de ces quatre séries , on obtiendra les suivantes

I, -s (cos. 0-4-y/, sin.9) , z' (cos. 2 6h--j/i sin. 29) ... 2" ( COS. «9-4- 1/^ sin.nÇ) , &c

! , — a(cos.9-hy — 1 sm.6; , — -z [cos.i^-\-y—i sin.29) ,

yUfyU — \)...(u—n-\-\) „, . , . „, o

...S-lI- ' '^^ —-Lz''(cos.n^-hy/—iSiD.n^), &c.,.

f s(cos. 9-»-\/^sin.9] z^fcos. 29-^-i/~sin-29)

(io){

/ g''(cos.r?9-+-/i:Tsin.w9)

f S (cos. 9-H-v/irr sin.9) 5!* (cos. 26-t-y/Z7sin.29)

i t z" (cos.w9 -4- /ZIT sin.w9)

dont les deux premières et la dernière resteront