I." PARTIE. CKAP. IX. 29l

/ /\ j 'sr(z) = ao -+-a, z {cos. 0 -|- y/HJ sin. 9 ) (^~~ :^|

( -+-a^5" (coi.2e-+-/:r:sin.2ejH-&c... L=:+l(

On doit observer que lerpiation précédente équivaut toujours à deux équations réelles. En eiTet, si l'on pose

(15) ^{z) = Cpiz) -^%W-/-^,

f(^) ^'* xi-) ciésignant deux fonctions réelles, on tirera de l'équation (14)

1 ^ W = Oo-^O: Z COS.Ô-H rt^z'cOS. 2G-H&C... , (16)'

Cl, z sin.

Lorsque la série (3) est donnée, on peut quelquefois en déduire la valeur de la fonction 'sr [z) sous forme finie ; et c'est là ce qu'on aj)pelle sommer la série. Nous avons déjà, dans le i ."paragraphe, résolu cette question pour la série (8). Nous allons maintenant chercher à la résoudre pour les séries (9). (10), (i i); et en conséquence nous traiterons i'un après l'autre les trois problèmes qui suivent.

1'' Problème. Trouver la somme de la

série

(C^) I .. ^.(cos.ô-^/II7siu.O, :^^^-(eos..a-H^r7s.„.^r

dans le cas oii l'on attribue à la variable z une valeur comprise entre les limites

Solution. Soit ^nri^fx) la somme cherchée. Eu dcsignant par f/J une quantité réelle différente de /^, on trouvera

(13) isr(A^)'2r(^')=: '3r(//.-^^').

L'équation précédente, étant semblable à l'équation (2) du chapitre VIIÏ [§. 5 ] , se résoudra de la même manière ; et Ton en conclura

'Z5'(^^^ = ?•'' [cos. /W,^ -H -j/— 1 sin. /X,^] ,

le module r et l'angle t étant deux quantités coiîstantes par rapport à /x, mais qui dépendent nécessairement de z et de ô. On aura donc , entre les limites s = — 1 , -; = -i- i ,

1 I H Z f COS. 9 H- -j/— ' sin. 9 j

(l7)/^jii(ilZllL^^(cos.2Ô-H/=Tsin.29)-4-&C...

y z=z r''[cos.;x<^ -H y^—i sin. \xt~\.

Pour déterminer les valeurs inconnues de 7- et de ^^ on fera dans l'équation (ly^ ytt=:: i , et l'on en tirera

!-+-;? COS. u -4- 3 sin. 6 . y' — 1 :::= /* cos.f-J- 7*sin./^. y-^ — i ,

ou, ce qui revient au même,

I ~f- ô COS. \i -z:^ r COS. ^ ^ Z sin. 9 = ;*sin. t^ On trouvera par suite