I." PARTIE. CHAP. IX

2." les coe/Ficfens de /^T , et que l'on remette pour .V sa valeur déterminée par la formule (i8) , on obtiendra les deux équations réelles

\ —COS. 5 ^ COS. 26 -H — COS. 39— &c.

j — sm.6 — sin.29-f--sin.39-|-&c... (2=H-ij

f ^ - sin. 9

! — arc tans^.

\ ^ l -i- z COS.

Corollaire 2/ Si l'on suppose ô = -^, ou, ce qui revient au même, cos. ô = 0 , sin. Ô = i , ia seconde des équations (3 8) deviendra

arc tans:, z.

La série qui forme le premier membre de cette dernière équation étant convergente non -seulement |)our toute valeur siumérique de z inférieure à l'unité, mais aussi lorsqu'on suppose ^ = 1 [voyez le chapitre ^^, §. 3 , 3.^ théorème], il on résulte que I équation suhsisteia dans cette dernière hypothèse : et , comme on a d'ailleurs

arc tang. (i\ z=. —,

on en conclura

La formule (4o) peut servir à calculer par approxi-

iKiitioiî la valeur de rr , c'est-à-dire , ie rapport de

la circonférence au diamètre.

5. 3.' Nolaiions employées pour reprcsentei^ quelques Fonctions imaginaires auxquelles on est conduit par la sommation des séries convergentes. Propriétci de ces mêmes Fonctions.

Considérons les six notations

A'^ f sin. X , COS. X ,

LiX , arc sin. JC , arc tos. X.

Si l'on attribue à la variable x une valeur réelle , ces six notations représenteront, comme l'on sait, autant de fonctions réelles de x , (pu, prises deux ù deu.x , seront inverses l'une de l'autre , c'est-à-dire , données par des i^péraîions inverses , pourvu toutefois Q^ue, A désignant un nombre, L exprime la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est A. Il reste à fixer le sens de ces mêmes notations , dans le cas où la variable x devient imap-inaire. C'est ce que nous ferons ici, en commençant par les trois premières.

On a prouvé que , dans le cas où la variable x est s:ip|.osée réelle, les trois fonctions représentées par

A^ , sin. X , COS. X ,

soit tor-jours developpables en séries convergeulei