I."' PARTIE. CHAP. IX

orcl(3niiées suivant les puissances ascendantes et entières de cette variable. On aura, en effet, dans cette hypothèse ,

xlA

COS. X =: i 1 CvC

sm. .r rr:

la caractéristique / désig^nant un losfarithnie népérien. De plus, comme [en vertu du i .^' théorème , corollaire i.^% ^. 2] les séries qu'on vient de rappeler restent convergentes pour toiites \eé va^f^urs réel^js ou imaginaires de la variable .r, on est convenu d'étendre les équations (1) à tous les cas possi!)les, et de les considérer comme pouvant servir à fixer, lors même que la variable devient imaginaire, le sens des trois notations

A , sin. X , COS. .r.

Observons maintenant que, si dans la première des é(|uations (i) on fait A=^e, e désignant iaybase des logarithmes népériens, on en tirera

(2) e"" = I -V- — H H 6cc... ,

puis, en écrivant successivement, au lieu de .r , JclA , xy-'i , — ^j/— I ,

j:/irr X . — x" x^ . — „

On aura par suite

f xlA ,,

v4)\ e = COS. JT -i- ]/-T sin. a: ,

le ;=: COS. ,r — y—\ siw. JC ,

la variable x pouvant t(Mi jours être ou réelle, ou imaginaire. De plus, l'équation (31) [§. 2] donnera , quels que soient x et /y ,

Cela posé , il deviendra facile d'obtenir sous forme finie les valeurs de A" , sin..r^ et co?..x , correspondantes à des valeurs imaginaixes de la variable x. En effet, si l'on suppose

(6) 07 = et H- G |/— I ,

du , C représentant des quantités réelles , on conclara des deux premières équations (4) jointes à l'équation (5)

(7) \ ^ A * ( COS. Ê /^ -H |/~i sin. ClA) ;