I."^ PARTIE. CHAP. IX

OÙ Q se réduit à zéro , il en résulte que toute expression, soit imaginaire, soit réelle, a plusieurs logarithmes imaginaires. Lorsque l'on voudra désigner indistinctement un quelcoiinue de ces logarithmes [parmi lesquels on doit coiuprendre fe logarithme réel, s'il y en a], on emploiera la caractéristique JL ou / suivie de doubles parenthèses , en ayant soin (l'énoncer dans le discours la base du système. Nous choisirons de préférence la caractéristique l , lorsqu'il s'agira de logarithmes népériens pris dans le système dont la base est e. En vertu de ces conventions, les divers logarithmes des quantités réelles ou expressions imaginaires

I , — I , cL-i-Q Y— I , X

se trouveront respectivement désignés, dans le système dont la base est A, par

et, dans le système népérien dont la base est e , pai'

Cela posé, pour déterminer ces divers logarithmes, il suffira de résoudre les problèmes suivans.

1." Problème. Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de l expression

Solution. Soit u-^-v-/^ l'une de ces valeurs,

314 roîius d'anaî.yse.

u, V dcsigtiant deux quantités réelies. On aura» d'après la définition même de l'expression /((O),

(il) e''-^'"^-' = i ,

ou, ce qui revient au même,

e^ (cos. V -H |/— 1 sin. f) = I.

On tirera de cette dernière équation e" — \ ,

COS. V -H |/— 1 sin. V ^=- l ^ ^

COS. i; :=: I , sin. i' 1= O , l» =: dr 2 X* TT ,

k représentant un nombre entier quelconque. Les quantités ii et v étant ainsi déterminées, les diverses valeurs de î/-f-i^)/— i propres à vérifier l'équation (il) seront évidemment comprises dans la formule

En d'autres termes , les diverses valeurs de /((i)) seront données par l'équation

Parmi ces valeurs une seule est réelle , savoir , celle qu'on obtient en posant A = o , et qui se réduit ellemême à zéro. C'est pour représenter cette valeur réelle qu'on emploie communément la notation simple