I."^ PARTIE. CHAP. II

ordres de quantités infiniment petites , les théorèmes siiivans.

1." Théorème. Si I'oji compare l'un à l'autre deux infiniment petits d'ordres différens , pendant que tous les deux convergeront vers la limite zéro , celui qui est de l'ordre le plus élevé finira par obtenir constamment la plus petite valeur numérique,

DÉMONSTRATION. Soient en effet

A-ct«(l±6), Â-'ct"' (izfcg')

deux infiniment petits, l'un de l'ordre n, l'autre de l'ordre n' , et supposons îi > n; le rapport entre le second de ces infiniment petits et le premier, savoir,

il w"'-" '-''

convergera indéfiniment avec et vers la limite zéro ; ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que la valeur numérique du second finit par devenir constamment inférieure à celle du premier.

2.^ Théorème. Un infiniment petit de l'ordre n, c'est-à-dire, de la forme

change de signe avec a , toutes les fois que n est un nombre impair , et conserve pour de très-petites valeurs numériques de a. le même signe que la quantité k, lorsque n est un 7iombre pair.

DÉMONSTRATION. En efTct, dans la première hypothèse, oo" change de signe avec a, ; et dans la

seconde , et" est toujours positif. De plus , le signe du produit /{{ i ± e) est le même que celui de k, lorsque g est très-petit.