PARTIE. CHAP. IX

= L (- et - «: /-T ) -H L((- I )).

En d'autres termes , suivant que la partie réelle d'une expression imaginaire représentée par œ sera positive ou négative, on aura

(37) l((x)) = L(x) +!((.)) =£(x)± ^i^^, ou bien

(38) L((x)) = i(-x)-i-Z, ((-,;) ==I^-x}±-iAl Lip^^

fi désignant un nombre entier (luelconque. On peut ajouter que des deux formules précédentes la première subsiste pour toutes les valeurs réelles positives de la variable a: , et la seconde pour toutes les valeurs réelles négatives de la même variable.

Après avoir calculé les divers logarithmes de l'expression imaginaire

.r = ûC -H- €]/— I ,

proposons - nous de trouver les arcs imaginaires dont le cosinus est égal à .r. S»i l'on désigne par

arc COS. i^œfj z=z a -{- v ]/ — i

l'un quelconque de ces arcs , on aura , pour déterminer //-H^'y/— I , l'équation

COS. '^ Il -+- v •{/— I ^1 .-rr ai -^ C -[/ — 1 ,

ou, ce qui revient au même, la suivante

(39) — J~ ^^'>- " — — si"- if • >^-' — CL-+-Cy/^,

laqiieîie se divise en deux autres , savoir ,

sin. Z/ = — ' o.

(40] • CCS. U :=^ cL ^

A ces dernières 011 peut substituer le syslcine équivalent des deux formules

\ T / COS. u h\n. u

COS. « sin.î<

De plus, si l'on élimine v entre les formules (4i) on en tirera successivement

COS. u

sin.

x.^u — (l — cL^ — C^) s'jïï.-u — €' = O ;

puis , en observant que sin/ ii est nécessairement une quantité positive,

z 1— Ci" sin. U =^

On aura par suite COS.* u =

et , comme [ en vertu de la première des é{{uations (4o)] COS. Il et ci, doivent être de même signe , on troLuera, en extrayant les racines carrées ,

Cela posé , si l'on fait pour pins de commodité